📝 题目
设函数 $f(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ．定义函数列：
$$
f_{1}(x)=f(x), \quad f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \quad \cdots, \quad f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \quad \cdots
$$
记 $S_{n}$ 是由曲线 $y=f_{n}(x)$ ，直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积．求极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n S_{n}$ ．
💡 答案解析
$f_{2}(x)=\displaystyle\frac{f(x)}{1+f(x)}=\displaystyle\frac{x}{1+2 x}$ ，
$f_{3}(x)=\displaystyle\frac{f_{2}(x)}{1+f_{2}(x)}=\displaystyle\frac{x}{1+3 x}$ ，由归纳法得 $f_{n}(x)=\displaystyle\frac{x}{1+n x}$ ，
于是 $S_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{1+n x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{n^{2}} \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{n x}{1+n x} \mathrm{~d}(n x)=\displaystyle\frac{1}{n^{2}} \displaystyle\int_{0}^{n} \displaystyle\frac{x}{1+x} \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{1}{n^{2}} \int_{0}^{n}\left(1-\frac{1}{1+x}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{n}-\frac{\ln (1+n)}{n^{2}} .
$$
故 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n S_{n}=1-\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{\ln (1+n)}{n}=1$ ．
📋 详细解题步骤
目标：求函数迭代的通项公式
首先，根据题目给定的函数迭代规则，我们计算前几项：
已知 $f_1(x) = \frac{x}{1+x}$。
计算 $f_2(x) = f(f_1(x))$：
$$f_2(x) = f\left(\frac{x}{1+x}\right) = \frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}} = \frac{\frac{x}{1+x}}{\frac{1+x+x}{1+x}} = \frac{x}{1+2x}.$$
计算 $f_3(x) = f(f_2(x))$：
$$f_3(x) = f\left(\frac{x}{1+2x}\right) = \frac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}} = \frac{\frac{x}{1+2x}}{\frac{1+2x+x}{1+2x}} = \frac{x}{1+3x}.$$
观察 $f_1(x)=\frac{x}{1+1\cdot x}$，$f_2(x)=\frac{x}{1+2x}$，$f_3(x)=\frac{x}{1+3x}$，我们归纳猜想：
$$f_n(x) = \frac{x}{1+nx}.$$
下面用数学归纳法证明这个猜想。
**归纳基础**：当 $n=1$ 时，$f_1(x)=\frac{x}{1+x}$，猜想成立。
**归纳假设**：假设当 $n=k$ 时，$f_k(x)=\frac{x}{1+kx}$ 成立。
**归纳步骤**：证明 $n=k+1$ 时也成立。
$$f_{k+1}(x) = f(f_k(x)) = f\left(\frac{x}{1+kx}\right) = \frac{\frac{x}{1+kx}}{1+\frac{x}{1+kx}} = \frac{\frac{x}{1+kx}}{\frac{1+kx+x}{1+kx}} = \frac{x}{1+(k+1)x}.$$
因此，当 $n=k+1$ 时猜想也成立。
由数学归纳法，对一切正整数 $n$，有 $f_n(x) = \frac{x}{1+nx}$。
公式：f_n(x) = \frac{x}{1+nx}
提示：观察前几项的模式，大胆猜想，再用数学归纳法严格证明。
目标：建立面积S_n的积分表达式
根据题意，曲线为 $y = f_n(x) = \frac{x}{1+nx}$，直线 $x=1$ 和 $x$ 轴（即 $y=0$）围成的图形是一个曲边梯形。该图形在 $x$ 轴上的投影区间为 $[0,1]$，因为当 $x=0$ 时 $y=0$，且 $x=1$ 是右边界。对于区间内任意 $x$，曲边梯形的高为 $f_n(x)$，底边为 $dx$，因此面积微元为 $dS = f_n(x)\,dx$。将微元从 $x=0$ 到 $x=1$ 积分，即得总面积：
$$S_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^1 \frac{x}{1+nx}\,dx.$$
此积分表达式直接由定积分的几何意义得出：曲线 $y=f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上与 $x$ 轴所围成的面积等于函数在该区间上的定积分。注意 $n$ 为正整数，分母 $1+nx$ 在 $[0,1]$ 上恒正，因此被积函数连续，积分存在。后续步骤将计算该定积分的值。
公式：$$S_n = \int_0^1 \frac{x}{1+nx}\,dx$$
提示：画图辅助理解：曲线在 $x=0$ 处为0，随 $x$ 增加而上升，与 $x=1$ 及 $x$ 轴围成曲边梯形。
目标：计算定积分得到S_n的表达式
首先，由前一步骤得到 $S_n = \int_0^1 \frac{x}{1+nx} \, dx$。为了计算该定积分，采用换元法。令 $u = 1 + nx$，则 $x = \frac{u-1}{n}$，$dx = \frac{1}{n} du$。当 $x=0$ 时，$u=1$；当 $x=1$ 时，$u=1+n$。代入积分得：
$$
S_n = \int_{1}^{1+n} \frac{\frac{u-1}{n}}{u} \cdot \frac{1}{n} \, du = \frac{1}{n^2} \int_{1}^{1+n} \frac{u-1}{u} \, du = \frac{1}{n^2} \int_{1}^{1+n} \left(1 - \frac{1}{u}\right) du.
$$
计算该积分：
$$
\int_{1}^{1+n} \left(1 - \frac{1}{u}\right) du = \left[ u - \ln|u| \right]_{1}^{1+n} = (1+n - \ln(1+n)) - (1 - \ln 1) = n - \ln(1+n).
$$
因此，
$$
S_n = \frac{1}{n^2} \left( n - \ln(1+n) \right) = \frac{1}{n} - \frac{\ln(1+n)}{n^2}.
$$
这样就得到了 $S_n$ 的表达式。
公式：$$S_n = \frac{1}{n} - \frac{\ln(1+n)}{n^2}$$
提示：换元后注意积分限的变化，并仔细处理系数 $\frac{1}{n^2}$。
目标：求极限lim n S_n
本步骤的目标是计算极限 $\lim_{n \to \infty} n S_n$。由前一步骤已知 $S_n = \frac{1}{n} - \frac{\ln(1+n)}{n^2}$，因此有：
$$n S_n = n \left( \frac{1}{n} - \frac{\ln(1+n)}{n^2} \right) = 1 - \frac{\ln(1+n)}{n}.$$
现在考虑 $n \to \infty$ 时，第二项 $\frac{\ln(1+n)}{n}$ 的极限。由于对数函数增长慢于任何幂函数，当 $n \to \infty$ 时，$\ln(1+n) \to \infty$，但分母 $n$ 的增长速度更快，因此该分式趋于 0。更严格地，利用洛必达法则或已知极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，可得：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+n)}{n} = 0.$$
于是：
$$\lim_{n \to \infty} n S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{\ln(1+n)}{n} \right) = 1 - 0 = 1.$$
因此，所求极限值为 $1$。
**最终答案验证**：将 $n S_n = 1 - \frac{\ln(1+n)}{n}$ 代入极限，当 $n$ 很大时，$\frac{\ln(1+n)}{n}$ 非常小，故 $n S_n$ 趋近于 1，结果合理。
公式：$$\lim_{n \to \infty} n S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{\ln(1+n)}{n}\right) = 1$$
提示：注意利用对数增长慢于幂函数的性质，直接得出极限为0。