2014年考研数学二第2题

渐近线是描述曲线在无穷远处行为的重要概念，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种类型。本步骤重点回顾斜渐近线和水平渐近线的极限判定公式，为后续解题奠定基础。 **1. 水平渐近线** 若函数$y=f(x)$满足$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$（$L$为有限常数），则称直线$y=L$为曲线$y=f(x)$的一条水平渐近线。注意：当$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时极限可能不同，需分别考虑。 **2. 斜渐近线** 若函数$y=f(x)$满足$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$（$a \neq 0$且有限），且$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - a x] = b$（$b$有限），则直线$y = a x + b$为曲线$y=f(x)$当$x \to +\infty$时的斜渐近线。类似地，可定义$x \to -\infty$时的斜渐近线。 **3. 判定步骤** - 首先检查是否存在水平渐近线：计算$x \to \pm \infty$时$f(x)$的极限。 - 若水平渐近线不存在（极限为无穷），则考虑斜渐近线：先求斜率$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$，若$a$存在且非零，再求截距$b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - a x]$。 - 注意：当$a=0$时，若$b$存在，则得到水平渐近线$y=b$，此时已归入水平渐近线情形。 **4. 垂直渐近线**（虽非本步骤重点，但常与斜、水平渐近线综合考查） 若$x \to x_0$时$f(x) \to \infty$，则直线$x=x_0$为垂直渐近线，通常出现在分母为零的点或函数无定义的点。 本步骤为后续计算具体函数的渐近线提供了理论依据，需熟练掌握极限的求法及上述判定公式。

首先判断曲线 $y = x + \sin x$ 是否存在渐近线。渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。 **1. 水平渐近线**：考虑 $x \to \infty$ 时 $y$ 的极限。由于 $\sin x$ 振荡无界，$\lim\limits_{x \to \infty} (x + \sin x) = \infty$，故不存在水平渐近线。 **2. 垂直渐近线**：函数 $y = x + \sin x$ 在全体实数上连续，无间断点，故无垂直渐近线。 **3. 斜渐近线**：设斜渐近线方程为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} (y - kx)$。 计算斜率 $k$： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + 0 = 1.$$ 计算截距 $b$： $$b = \lim_{x \to \infty} (x + \sin x - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \sin x.$$ 由于 $\sin x$ 在 $x \to \infty$ 时振荡于 $[-1, 1]$ 之间，极限不存在，因此 $b$ 不存在。 **结论**：因为 $b$ 不存在，所以曲线 $y = x + \sin x$ 没有斜渐近线。综合以上，选项A的曲线无渐近线。

分析选项B给出的函数 $y = x^2 + \sin x$。首先检查是否存在斜渐近线。斜渐近线的存在条件是 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ 存在且为有限非零常数 $k$，且 $\lim_{x \to \infty} (y - kx)$ 存在且为有限常数 $b$。计算： $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{\sin x}{x} \right) = \infty$$ 因为 $x \to \infty$ 时 $x$ 趋于无穷大，而 $\frac{\sin x}{x} \to 0$，所以极限为无穷大，不满足斜渐近线条件（$k$ 必须为有限值）。 其次检查是否存在水平渐近线。水平渐近线的条件是 $\lim_{x \to \infty} y$ 存在且为有限常数。计算： $$\lim_{x \to \infty} (x^2 + \sin x) = \infty$$ 因为 $x^2$ 趋于无穷大，$\sin x$ 有界，所以极限为无穷大，不存在水平渐近线。 因此，函数 $y = x^2 + \sin x$ 既无斜渐近线也无水平渐近线。

分析选项C：$y = x + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$。首先判断其是否存在斜渐近线。斜渐近线的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} (y - kx)$。 计算斜率 $k$： $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\right).$$ 由于 $\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq 1$，故 $\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \to 0$（当 $x \to \infty$），所以 $k = 1$。 计算截距 $b$： $$b = \lim_{x \to \infty} \left( x + \sin\left(\frac{1}{x}\right) - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \infty} \sin\left(\frac{1}{x}\right).$$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\sin\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$，因此 $b = 0$。 故曲线 $y = x + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 有斜渐近线 $y = x$。注意：当 $x \to -\infty$ 时，同样可得 $k=1$，$b=0$，因此该渐近线在 $x \to \pm\infty$ 时均成立。 因此，选项C满足斜渐近线条件。

分析选项D：$y=x^2+\sin\frac{1}{x}$。首先判断是否存在斜渐近线。斜渐近线的斜率$k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{y}{x}$。计算： $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(x+\frac{\sin\frac{1}{x}}{x}\right)=\infty,$$ 因为$x\to\infty$时$x\to\infty$，而$\frac{\sin\frac{1}{x}}{x}\to0$，故极限为无穷大，不存在有限的斜率，因此无斜渐近线。 再判断是否存在水平渐近线。水平渐近线要求$\lim\limits_{x\to\infty}y$存在且有限。计算： $$\lim_{x\to\infty}\left(x^2+\sin\frac{1}{x}\right)=\infty,$$ 因为$x^2\to\infty$，$\sin\frac{1}{x}\to0$，故极限为无穷大，不存在有限极限，因此无水平渐近线。 另外，考虑是否存在垂直渐近线。垂直渐近线通常出现在函数无定义的点附近。函数$y=x^2+\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义（因为$\frac{1}{x}$无定义），但$x\to0$时，$x^2\to0$，$\sin\frac{1}{x}$在$[-1,1]$内振荡，故$y$不趋于无穷大，因此$x=0$不是垂直渐近线。综上，选项D所给函数没有渐近线。

综合前五步的分析，我们逐一验证了四个选项所对应的曲线是否具有渐近线。 - 对于选项A，曲线方程为 $y = x + \sin x$。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{y}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1$，但 $y - x = \sin x$ 不趋于常数，因此不存在斜渐近线；同时也没有水平或垂直渐近线。 - 对于选项B，曲线方程为 $y = x^2 + \sin x$。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{y}{x} = x + \frac{\sin x}{x} \to \infty$，故无斜渐近线；也无水平或垂直渐近线。 - 对于选项C，曲线方程为 $y = x + \sin \frac{1}{x}$。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{y}{x} = 1 + \frac{\sin(1/x)}{x} \to 1$，且 $y - x = \sin \frac{1}{x} \to 0$，因此存在斜渐近线 $y = x$。另外，当 $x \to 0$ 时，$\sin(1/x)$ 振荡，但 $x$ 趋于0，故无垂直渐近线。 - 对于选项D，曲线方程为 $y = x^2 + \sin \frac{1}{x}$。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{y}{x} = x + \frac{\sin(1/x)}{x} \to \infty$，无斜渐近线；也无水平或垂直渐近线。 因此，只有选项C所对应的曲线存在渐近线（斜渐近线 $y = x$）。故正确答案为C。 最终答案验证：将 $y = x + \sin \frac{1}{x}$ 代入渐近线定义，$\lim_{x \to \infty} (y - x) = \lim_{x \to \infty} \sin \frac{1}{x} = 0$，且 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = 1$，确认斜渐近线存在。