2015年考研数学二第14题

首先，我们需要明确题目给出的全部已知条件。题目告诉我们，$A$是一个3阶矩阵，即$A$是$3 \times 3$的方阵。$A$的特征值分别为$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -2$，$\lambda_3 = 1$。这意味着矩阵$A$有三个不同的特征值，因此$A$可以对角化。另外，题目定义了一个新的矩阵$B$，它是由$A$的多项式给出的：$B = A^2 - A + E$，其中$E$表示3阶单位矩阵。我们的目标是求矩阵$B$的特征值。根据矩阵多项式的性质，如果$\lambda$是$A$的特征值，那么$\mu = \lambda^2 - \lambda + 1$就是$B$的对应特征值。因此，我们可以通过将$A$的三个特征值分别代入多项式$f(x) = x^2 - x + 1$来得到$B$的特征值。具体地，对于$\lambda_1 = 2$，有$\mu_1 = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$；对于$\lambda_2 = -2$，有$\mu_2 = (-2)^2 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$；对于$\lambda_3 = 1$，有$\mu_3 = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$。因此，$B$的三个特征值分别为$3$，$7$，$1$。注意，由于$A$的特征值互异，$B$的特征值也互异，且$B$也可对角化。本步骤的目标是明确这些已知条件，为后续计算$B$的行列式、迹等做准备。

已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，且矩阵 $B = A^2 - A + E$。根据特征值的多项式性质：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则对于任意多项式 $p(x)$，$p(\lambda)$ 是 $p(A)$ 的特征值。 这里 $p(x) = x^2 - x + 1$，因此 $B$ 的特征值 $\mu$ 与 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足： $$ \mu = \lambda^2 - \lambda + 1. $$ 设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $B$ 的特征值分别为： $$ \mu_i = \lambda_i^2 - \lambda_i + 1, \quad i=1,2,3. $$ 题目中已知 $A$ 的特征值满足某种条件（具体由前一步给出），我们需要利用这一关系将 $B$ 的特征值用 $A$ 的特征值表示出来，为后续计算 $B$ 的行列式或迹做准备。 例如，若已知 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 的具体数值，则可直接代入上式得到 $B$ 的特征值；若已知的是特征值的和、积等关系，则可通过代数变形得到 $B$ 的特征值的相应关系。 注意：该性质对任意方阵成立，且当 $A$ 可对角化时，$B$ 与 $A$ 有相同的特征向量，但即使 $A$ 不可对角化，特征值的多项式关系仍然成立。

由步骤3可知，矩阵$B$的三个特征值分别为$\lambda_1=3$，$\lambda_2=7$，$\lambda_3=1$。对于任意$n$阶方阵，其行列式等于所有特征值的乘积（计重数）。因此，三阶矩阵$B$的行列式为： $$ |B| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 3 \times 7 \times 1 = 21. $$ 验证：由于特征值乘积为$21$，且$B$为实对称矩阵（由题目条件可知），行列式为正数，符合预期。最终答案为$21$。