2015年考研数学二第16题

首先，我们需要明确题目中给出的区域D的边界条件。区域D由三条边界围成： 1. 曲线 $y = A \sin x$，其中 $A > 0$，且 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$。这条曲线在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递增，从点 $(0, 0)$ 上升到点 $(\frac{\pi}{2}, A)$。 2. 直线 $y = 0$，即 $x$ 轴，从 $x = 0$ 到 $x = \frac{\pi}{2}$。 3. 直线 $x = \frac{\pi}{2}$，即垂直于 $x$ 轴的直线，从 $y = 0$ 到 $y = A$。 因此，区域D是一个以 $x$ 轴为底边、以 $x = \frac{\pi}{2}$ 为右边、以曲线 $y = A \sin x$ 为顶边的曲边三角形。在直角坐标系中，区域D可以描述为： $$ D = \left\{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \ 0 \leq y \leq A \sin x \right\}. $$ 为了后续步骤（如计算面积、体积或积分）的方便，我们也可以将区域D视为 $y$ 型区域，即先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分。此时，对于固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $A \sin x$；$x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。 另外，由于 $A > 0$ 是参数，区域D的形状会随着 $A$ 的取值变化，但边界曲线的形式保持不变。明确这些边界是后续进行积分计算的基础。

本步骤计算曲线 $y = A\sin x$ 在区间 $[0, \pi/2]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积 $V_1$。采用圆盘法（切片法），将旋转体视为由无数垂直于 $x$ 轴的薄圆盘叠加而成。对于区间内任意一点 $x$，该处曲线的高度为 $y = A\sin x$，因此对应圆盘的半径为 $|y| = A\sin x$（在 $[0,\pi/2]$ 上 $\sin x \ge 0$，故绝对值可去掉）。圆盘厚度为 $dx$，其体积微元为 $dV = \pi (A\sin x)^2 dx = \pi A^2 \sin^2 x \, dx$。对 $x$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 积分，得到总体积： $$V_1 = \int_{0}^{\pi/2} \pi (A\sin x)^2 \, dx = \pi A^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \, dx.$$ 接下来计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \, dx$。利用三角恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，则 $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos 2x \, dx.$$ 计算两个积分： $$\int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2},$$ $$\int_{0}^{\pi/2} \cos 2x \, dx = \left. \frac{\sin 2x}{2} \right|_{0}^{\pi/2} = \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} = 0 - 0 = 0.$$ 因此 $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\pi}{4}.$$ 代入 $V_1$ 表达式，得 $$V_1 = \pi A^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2 A^2}{4}.$$ 至此，绕 $x$ 轴旋转体积 $V_1$ 已计算完毕，结果为 $\frac{\pi^2 A^2}{4}$。

在第二步中，我们已得到旋转体体积 $V_1$ 的积分表达式： $$V_1 = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} A^2 \sin^2 x \, dx.$$ 现在利用三角恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 对被积函数进行化简，代入得： $$V_1 = \pi A^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi A^2}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx.$$ 将积分拆分为两个部分： $$\frac{\pi A^2}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \right).$$ 分别计算两个定积分： $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2},$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(\sin \pi - \sin 0) = 0.$$ 因此， $$V_1 = \frac{\pi A^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi A^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2 A^2}{4}.$$ 至此，$V_1$ 的积分已化简为 $V_1 = \frac{\pi^2 A^2}{4}$。

本步骤使用柱壳法（Shell Method）计算平面区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。由前一步骤已知，该区域由曲线 $y = A \sin x$（其中 $A$ 为常数）、$x$ 轴（$y=0$）以及直线 $x = \frac{\pi}{2}$ 围成，且 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$。柱壳法的基本思想是：将区域分割为无数个垂直于x轴的窄条，每个窄条绕y轴旋转形成一个薄壁圆筒（柱壳），其体积微元为 $dV = 2\pi x \cdot y \, dx$，其中 $x$ 是柱壳的半径，$y$ 是柱壳的高度。因此，绕y轴旋转的总体积为： $$V_2 = \int_{0}^{\pi/2} 2\pi x \cdot y \, dx = 2\pi \int_{0}^{\pi/2} x \cdot (A \sin x) \, dx = 2\pi A \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx.$$ 接下来计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx$。使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。于是： $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C.$$ 代入上下限： $$\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{0}^{\pi/2} = \left( -\frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} \right) - \left( -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 \right) = (0 + 1) - (0 + 0) = 1.$$ 因此， $$V_2 = 2\pi A \cdot 1 = 2\pi A.$$ 至此，我们得到了绕y轴旋转体积 $V_2 = 2\pi A$。

本步骤的目标是计算体积分量 $V_2$ 中的积分。由前一步骤可知，$V_2 = 2\pi A \int_0^\pi x \sin x \, dx$，其中 $A$ 为常数。我们需要计算定积分 $\int_0^\pi x \sin x \, dx$。 使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入得： $$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C. $$ 现在代入上下限 $0$ 到 $\pi$： $$ \int_0^\pi x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^\pi = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0). $$ 计算各项：$\cos \pi = -1$，$\sin \pi = 0$，$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$。因此： $$ -\pi \cos \pi = -\pi \cdot (-1) = \pi, \quad \sin \pi = 0, \quad -0 \cdot \cos 0 = 0, \quad \sin 0 = 0. $$ 所以定积分值为 $\pi - 0 = \pi$。于是 $V_2 = 2\pi A \cdot \pi = 2\pi^2 A$。 注意：题目步骤概要中写的是 $V_2 = 2\pi A \cdot 1 = 2\pi A$，但根据正确计算应为 $2\pi^2 A$。此处按正确数学推导给出结果，实际步骤中应核对原题数据。

由前一步骤已得两个体积表达式： - 旋转体体积 $V_1 = \frac{\pi^2 A^2}{4}$ - 旋转体体积 $V_2 = 2\pi A$ 根据题意，$V_1 = V_2$，因此建立方程： $$ \frac{\pi^2 A^2}{4} = 2\pi A $$ 由于 $A > 0$（几何意义，$A$ 为曲线与坐标轴围成区域的参数，应为正数），方程两边可同时除以 $\pi A$（$\pi A \neq 0$），得： $$ \frac{\pi A}{4} = 2 $$ 两边同时乘以 4： $$ \pi A = 8 $$ 解得： $$ A = \frac{8}{\pi} $$ **验证**：将 $A = \frac{8}{\pi}$ 代入原方程： - 左边：$\frac{\pi^2}{4} \cdot \left(\frac{8}{\pi}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{64}{\pi^2} = \frac{64}{4} = 16$ - 右边：$2\pi \cdot \frac{8}{\pi} = 16$ 左右相等，验证正确。 因此，参数 $A$ 的值为 $\displaystyle A = \frac{8}{\pi}$。