2007年考研数学一第19题
📝 题目
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)=g(a)$ ， $f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
好的，我们按题目要求，写出证明过程，并将推导步骤写得尽量清晰规范。 我们采用构造辅助函数，并连续应用罗尔定理的思路来论证。
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**证明**
设 \[ h(x) = f(x) - g(x) \] 则 \(h(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内二阶可导，且有 \[ h(a)=f(a)-g(a)=0,\quad h(b)=f(b)-g(b)=0. \]
根据题意，\(f\) 和 \(g\) 在 \((a,b)\) 内存在相等的最大值，即存在两点 \(c_1,c_2\in(a,b)\) 使得： \[ M=\max_{[a,b]} f(x) = f(c_1),\quad M = \max_{[a,b]} g(x)=g(c_2). \] 若 \(c_1=c_2\)，取该点为 \(c\)，则 \(h(c)=0\)；否则分两种情况讨论。
**情况1：** 若 \(c_1=c_2\)，记公共点为 \(c\)，则有 \[ h(c)=f(c)-g(c)=M-M=0. \] 于是得到 \[ h(a)=h(c)=h(b)=0. \] 由罗尔定理，存在 \(\xi_1\in(a,c)\)，使得 \(h'(\xi_1)=0\)；存在 \(\xi_2\in(c,b)\)，使得 \(h'(\xi_2)=0\)。 再对 \(h'(x)\) 在 \([\xi_1,\xi_2]\) 上使用罗尔定理，存在 \(\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)\) 使得 \[ h''(\xi)=0 \quad\Rightarrow\quad f''(\xi)-g''(\xi)=0 \quad\Rightarrow\quad f''(\xi)=g''(\xi). \] 证毕（对于此情况）。
**情况2：** 若 \(c_1\neq c_2\)，不失一般性设 \(c_1 --- 综上，无论 \(c_1\) 与 \(c_2\) 是否相同，都存在 \(\xi\in(a,b)\) 使得
\[
f''(\xi)=g''(\xi).
\] **证明完毕。** \[
\boxed{}
\]
📋 详细解题步骤
步骤 2/9
目标：利用最大值条件引入两个最大值点
由题设条件，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且存在相等的最大值 $M$。根据闭区间上连续函数的最值定理，最大值一定在区间内部或端点处取得。但题目中已说明最大值相等，且后续需要利用介值定理或零点定理构造辅助函数，因此我们需要将最大值点明确引入。
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故存在点 $c_1 \in [a,b]$ 使得 $f(c_1) = \max_{x\in[a,b]} f(x) = M$。同理，存在点 $c_2 \in [a,b]$ 使得 $g(c_2) = \max_{x\in[a,b]} g(x) = M$。这里 $c_1$ 和 $c_2$ 不一定唯一，但我们可以各取一个。
注意：$c_1$ 和 $c_2$ 可能相等，也可能不等。若 $c_1 = c_2$，则在该点处 $f(c_1)=g(c_1)=M$，结论直接成立。若 $c_1 \neq c_2$，则我们需要进一步分析。不失一般性，可假设 $c_1 < c_2$（若 $c_1 > c_2$，则交换 $f$ 和 $g$ 的角色即可）。
此时，在区间 $[c_1, c_2]$ 上，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均连续，且 $f(c_1)=M$，$g(c_2)=M$。考虑辅助函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(c_1)=f(c_1)-g(c_1) \geq 0$（因为 $g(c_1) \leq M$），$h(c_2)=f(c_2)-g(c_2) \leq 0$（因为 $f(c_2) \leq M$）。由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [c_1, c_2]$ 使得 $h(\xi)=0$，即 $f(\xi)=g(\xi)$。
因此，引入两个最大值点 $c_1, c_2$ 是后续构造零点定理应用的关键步骤。
公式：存在 $c_1, c_2 \in [a,b]$ 使得 $f(c_1)=g(c_2)=M$，其中 $M = \max_{x\in[a,b]} f(x) = \max_{x\in[a,b]} g(x)$
提示：注意区分最大值点与最大值，并考虑两个最大值点位置关系的两种情形。
步骤 3/9
目标：分情况讨论：情况1（最大值点相同）
我们考虑第一种情况：两个最大值点相同，即 $c_1 = c_2 = c$。此时，由题目条件可知，$f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x=c$ 处取得区间 $[a,b]$ 上的最大值。
定义辅助函数 $h(x) = f(x) - g(x)$。由于 $f(c) = M$，$g(c) = M$，因此 $h(c) = f(c) - g(c) = M - M = 0$。
又已知 $f(a) = g(a) = 0$，$f(b) = g(b) = 0$，所以 $h(a) = f(a) - g(a) = 0$，$h(b) = f(b) - g(b) = 0$。
于是我们得到 $h(a) = h(c) = h(b) = 0$，即 $h(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上至少有三个零点：$a$、$c$、$b$。
由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，故 $h(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。根据罗尔定理，在 $h(x)$ 的每两个相邻零点之间至少存在一点使得 $h'(x)=0$。具体地：
- 在 $(a,c)$ 内存在 $\xi_1$ 使得 $h'(\xi_1)=0$；
- 在 $(c,b)$ 内存在 $\xi_2$ 使得 $h'(\xi_2)=0$。
而 $h'(x) = f'(x) - g'(x)$，因此 $f'(\xi_1) = g'(\xi_1)$，$f'(\xi_2) = g'(\xi_2)$。这说明存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in (a,b)$ 使得两函数的导数相等。
至此，情况1的分析完成，我们得到了存在两个点使得导数相等的结论。
公式：$$h(x)=f(x)-g(x),\quad h(a)=h(c)=h(b)=0$$
提示：注意利用辅助函数将问题转化为零点问题，再应用罗尔定理。
步骤 4/9
目标：情况1：应用罗尔定理得到一阶导零点
首先，回顾题目中构造的辅助函数 $h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-\frac{1}{2}M(x-a)(x-b)$，其中 $M$ 是待定常数。由前一步已知 $h(a)=h(c)=h(b)=0$，且 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导（因为 $f(x)$ 二阶可导，多项式部分可导）。
现在考虑情况1：$c$ 是 $(a,b)$ 内的任意一点（即 $a
公式：$$h(\xi_1)=h(\xi_2)=0 \Rightarrow \exists \xi_1\in(a,c), \xi_2\in(c,b): h'(\xi_1)=0,\, h'(\xi_2)=0$$
提示：注意 $h(a)=h(c)=h(b)=0$ 是应用两次罗尔定理的关键前提。
步骤 5/9
目标：情况1：再应用罗尔定理得到二阶导零点
在情况1中，我们已经由步骤4得到存在两点 $\xi_1,\xi_2\in(a,b)$（$\xi_1<\xi_2$）使得 $h'(\xi_1)=h'(\xi_2)=0$，其中 $h(x)=f(x)-g(x)$。现在考虑辅助函数 $h'(x)$ 在区间 $[\xi_1,\xi_2]$ 上的性质。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，因此 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，从而 $h'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导。又已知 $h'(\xi_1)=h'(\xi_2)=0$，即 $h'(x)$ 在区间端点处函数值相等（均为0）。根据罗尔定理，存在一点 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$，使得 $h'(x)$ 的导数在 $\xi$ 处为零，即 $h''(\xi)=0$。而 $h''(x)=f''(x)-g''(x)$，因此 $f''(\xi)-g''(\xi)=0$，即 $f''(\xi)=g''(\xi)$。这样就证明了在情况1下，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f''(\xi)=g''(\xi)$。
公式：$$\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b),\; h''(\xi)=0 \Rightarrow f''(\xi)=g''(\xi)$$
提示：注意罗尔定理的应用对象是 $h'(x)$，而非 $h(x)$，且区间端点为 $\xi_1,\xi_2$。
步骤 6/9
目标：分情况讨论：情况2（最大值点不同）
考虑情况2：$c_1 \neq c_2$，即函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值点不同。不妨设 $c_1 < c_2$。
由于 $c_1$ 是 $f(x)$ 的最大值点，有 $f(c_1) = M$；$c_2$ 是 $g(x)$ 的最大值点，有 $g(c_2) = M$。
定义辅助函数 $h(x) = f(x) - g(x)$。则
$$h(c_1) = f(c_1) - g(c_1) = M - g(c_1).$$
因为 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值为 $M$，所以 $g(c_1) \leq M$，从而 $h(c_1) = M - g(c_1) \geq 0$。
类似地，
$$h(c_2) = f(c_2) - g(c_2) = f(c_2) - M.$$
因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值为 $M$，所以 $f(c_2) \leq M$，从而 $h(c_2) = f(c_2) - M \leq 0$。
于是得到 $h(c_1) \geq 0$ 且 $h(c_2) \leq 0$。由连续函数的介值定理，存在 $\xi$ 介于 $c_1$ 与 $c_2$ 之间（即 $\xi \in [c_1, c_2] \subset [a,b]$），使得 $h(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = g(\xi)$。
因此，在情况2下，同样存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = g(\xi)$。
公式：$$h(c_1)=M-g(c_1)\ge0,\quad h(c_2)=f(c_2)-M\le0$$
提示：利用辅助函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 将问题转化为零点存在性问题。
步骤 7/9
目标：情况2：利用介值定理得到第三个零点
在情况2中，已知 $h(c_1) > 0$ 且 $h(c_2) < 0$（或相反的不等号方向），且 $h(x)$ 在闭区间 $[c_1, c_2]$ 上连续。根据连续函数的介值定理（零点定理），若函数在区间端点处函数值异号，则至少存在一点 $c \in (c_1, c_2)$ 使得 $h(c) = 0$。
由于 $h(a) = 0$ 和 $h(b) = 0$ 已经由前序步骤得到，现在又得到 $h(c) = 0$，且 $a < c_1 < c < c_2 < b$，因此 $a, c, b$ 是三个互不相同的点，从而 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少有三个零点。
具体地，由 $h(c_1) > 0$ 和 $h(c_2) < 0$，存在 $c \in (c_1, c_2)$ 使得 $h(c) = 0$。于是 $h(a) = h(c) = h(b) = 0$，即 $h(x)$ 有三个不同的零点 $a, c, b$。
注意：这里 $c_1$ 和 $c_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，且 $f(c_1) = f(c_2) = 0$，但 $h(x)$ 在 $c_1$ 和 $c_2$ 处的函数值符号相反，从而保证了介值定理的应用条件。
公式：$$\exists c \in (c_1, c_2), \text{使得} h(c)=0$$
提示：注意检查区间端点函数值是否异号，这是应用介值定理的关键。
步骤 8/9
目标：情况2：重复应用罗尔定理得到结论
对于情况2，已知 $f(c)=g(c)$，且 $f(a)=g(a)$，$f(b)=g(b)$。构造辅助函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足罗尔定理的条件：$h(a)=0$，$h(b)=0$，且 $h(c)=0$。
首先，在区间 $(a,c)$ 上，$h(a)=h(c)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$ 使得 $h'(\xi_1)=0$。
其次，在区间 $(c,b)$ 上，$h(c)=h(b)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi_2 \in (c,b)$ 使得 $h'(\xi_2)=0$。
于是得到两个一阶导数的零点：$\xi_1$ 和 $\xi_2$，且 $\xi_1 < c < \xi_2$。
现在考虑 $h'(x)$ 在区间 $[\xi_1,\xi_2]$ 上，由于 $h'(\xi_1)=h'(\xi_2)=0$，且 $h'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导（因为 $f,g$ 二阶可导），再次应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$ 使得 $h''(\xi)=0$。
而 $h''(x)=f''(x)-g''(x)$，因此 $h''(\xi)=0$ 即 $f''(\xi)-g''(\xi)=0$，所以 $f''(\xi)=g''(\xi)$。
结论：在情况2下，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f''(\xi)=g''(\xi)$。
公式：$$h(x)=f(x)-g(x),\quad h(a)=h(c)=h(b)=0 \Rightarrow \exists\xi_1\in(a,c),\xi_2\in(c,b):h'(\xi_1)=h'(\xi_2)=0 \Rightarrow \exists\xi\in(\xi_1,\xi_2):h''(\xi)=0 \Rightarrow f''(\xi)=g''(\xi)$$
提示：注意两次使用罗尔定理时，区间端点函数值必须相等，且函数可导。
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