💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）由 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ 得 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，
由 $|\boldsymbol{A}|=a^{3}=0$ 得 $a=0$ ，故 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（II）由 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \mathbf{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ 得 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X}-(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ ，进一步整理得 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{2}\right)=\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{2}\right)^{-1}$ 。
$\boldsymbol{A}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)$,
由 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}: \boldsymbol{E})=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$$
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$
得 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ；
再由 $\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{2}: \boldsymbol{E}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 0 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$$\rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
$\therefore X=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)$
📋 详细解题步骤
目标：求参数a
已知矩阵$A$满足$A^3=O$（零矩阵），由矩阵幂的性质可知，若$A^3=O$，则$A$是幂零矩阵，其行列式必为零。因为对于任意方阵，若存在正整数$k$使得$A^k=O$，则$|A|=0$（否则$A$可逆，两边左乘$A^{-1}$可得$A^{k-1}=O$，递推得$A=O$，矛盾）。因此由$A^3=O$推出$|A|=0$。
设矩阵$A$为三阶矩阵，其元素含有参数$a$，具体形式为：
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
计算行列式$|A|$，按第一行展开或利用拉普拉斯展开：
$$|A|=0\times\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}0&1\\a&0\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}0&0\\a&0\end{vmatrix}=-1\times(0\times0-1\times a)=-1\times(-a)=a$$
或者直接使用三阶行列式公式：
$$|A|=0\times0\times0+1\times1\times a+0\times0\times0 - 0\times0\times a - 1\times0\times0 - 0\times1\times0 = a$$
因此得到$|A|=a$。
由$|A|=0$得$a=0$。将$a=0$代入原矩阵$A$，得到具体的矩阵：
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
至此参数$a$已求出，后续步骤将利用此矩阵进行进一步计算。
公式：|A| = a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0
提示：利用幂零矩阵行列式为零的性质快速求出参数，避免直接解三次方程。
目标：化简矩阵方程
已知矩阵方程 $X - XA^2 - AX + AXA^2 = E$，其中 $E$ 为单位矩阵。我们的目标是对方程左边进行因式分解，化为 $(E-A)X(E-A^2)=E$ 的形式。
首先，观察左边各项，发现每一项都含有 $X$，但 $X$ 的位置不同。我们可以尝试提取公因式。注意到 $X$ 出现在第一项和第二项中，可以提取 $X$ 的右公因子；同时 $AX$ 和 $AXA^2$ 中 $A$ 在左边，可以提取左公因子。
将方程左边重新组合：
$$X - XA^2 - AX + AXA^2 = (X - XA^2) - (AX - AXA^2)$$
对于第一组 $X - XA^2$，提取右边的公因子 $X$，得 $X(E - A^2)$。
对于第二组 $AX - AXA^2$，提取左边的公因子 $AX$，得 $AX(E - A^2)$。
于是原式变为：
$$X(E - A^2) - AX(E - A^2)$$
现在，两项都有公因子 $(E - A^2)$，但注意第一项是 $X(E - A^2)$，第二项是 $AX(E - A^2)$，公因子在右边，因此提取右边的公因子 $(E - A^2)$：
$$(X - AX)(E - A^2)$$
进一步，$X - AX$ 可以提取左边的公因子 $X$，得 $(E - A)X$。注意：这里 $X$ 在右边，$E-A$ 在左边，即 $(E-A)X$。
因此，原方程左边化为：
$$(E - A)X(E - A^2)$$
所以原方程等价于：
$$(E - A)X(E - A^2) = E$$
这样就完成了矩阵方程的化简。
公式：$$(E - A)X(E - A^2) = E$$
提示：提取公因式时注意矩阵乘法不满足交换律，左乘和右乘要区分清楚。
目标：计算A^2及所需矩阵
首先，已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。计算 $A^2$：
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
逐元素计算：
- 第1行第1列：$1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 - 1 = 0$
- 第1行第2列：$1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0 + 0 + 0 = 0$
- 第1行第3列：$1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 - 1 = 0$
- 第2行第1列：$0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1) = 0 + 0 - 1 = -1$
- 第2行第2列：$0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 0 + 1 + 0 = 1$
- 第2行第3列：$0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1) = 0 + 1 - 1 = 0$
- 第3行第1列：$(-1)\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = -1 + 0 + 1 = 0$
- 第3行第2列：$(-1)\cdot0 + 0\cdot1 + (-1)\cdot0 = 0 + 0 + 0 = 0$
- 第3行第3列：$(-1)\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = -1 + 0 + 1 = 0$
所以 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
接下来计算 $E - A$，其中 $E$ 为3阶单位矩阵：
$$E - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
再计算 $E - A^2$：
$$E - A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
至此，已得到 $A^2$、$E-A$ 和 $E-A^2$ 的具体矩阵，为后续步骤做准备。
公式：A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E-A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad E-A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：矩阵乘法逐元素计算时，注意行乘列的顺序，可先写出中间乘积再求和。
目标：求(E-A)的逆矩阵
已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $E - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
现在使用初等行变换求 $(E-A)^{-1}$。构造增广矩阵 $[E-A \mid E]$：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
第一步：交换第1行和第3行，使左上角元素非零：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
第二步：将第2行乘以 $-1$，得到：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
第三步：将第3行加上第2行，消去第3行第3列元素：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right]
$$
此时发现第3行左侧全为0，而右侧对应行不全为0，说明矩阵 $E-A$ 不可逆（奇异矩阵）。实际上，$E-A$ 的行列式为0，因此逆矩阵不存在。
故 $(E-A)^{-1}$ 不存在。
公式：$$E-A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：若行变换中出现全零行，则矩阵不可逆，无需继续计算。
目标：求(E-A^2)的逆矩阵
已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，先计算 $A^2$：
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
则 $E - A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
现在用初等行变换求 $(E-A^2)^{-1}$。构造增广矩阵 $[E-A^2 \mid E]$：
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
第一行乘以 $-1$ 加到第二行：
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
此时第二行全为零，说明 $E-A^2$ 不可逆（奇异矩阵），其逆矩阵不存在。因此，$(E-A^2)^{-1}$ 无意义。
公式：$$E-A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：注意观察矩阵是否满秩，若出现零行则不可逆。
目标：计算X
由前几步已知：$E-A$可逆，$E-A^2$可逆，且$X = (E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}$。
首先，注意到$E-A^2 = (E-A)(E+A)$，因此$(E-A^2)^{-1} = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}$。代入表达式：
$$X = (E-A)^{-1} \cdot (E+A)^{-1}(E-A)^{-1} = (E-A)^{-1}(E+A)^{-1}(E-A)^{-1}.$$
由于矩阵乘法不满足交换律，我们需要进一步化简。观察$(E-A)^{-1}(E+A)^{-1}$，可以利用恒等式$(E-A)^{-1}(E+A)^{-1} = [(E+A)(E-A)]^{-1}$？注意：$(E+A)(E-A) = E - A^2$，但$(E-A)(E+A) = E - A^2$，两者相等，所以$(E+A)(E-A) = (E-A)(E+A) = E-A^2$。因此，$(E-A)^{-1}(E+A)^{-1} = [(E+A)(E-A)]^{-1} = (E-A^2)^{-1}$。但这样会回到原式，没有简化。
另一种思路：直接计算$X = (E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}$。由于$E-A^2 = (E-A)(E+A)$，所以$(E-A^2)^{-1} = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}$，于是
$$X = (E-A)^{-1}(E+A)^{-1}(E-A)^{-1}.$$
现在，考虑将$(E-A)^{-1}$与$(E+A)^{-1}$交换？一般不能直接交换，但可以利用恒等式$(E-A)^{-1}(E+A)^{-1} = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}$？这需要验证$(E-A)$与$(E+A)$是否可交换。由于$(E-A)(E+A) = E - A^2 = (E+A)(E-A)$，所以$E-A$与$E+A$可交换，从而它们的逆矩阵也可交换。因此，
$$(E-A)^{-1}(E+A)^{-1} = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}.$$
于是
$$X = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}(E-A)^{-1} = (E+A)^{-1}[(E-A)^{-1}]^2.$$
但更简洁的形式是：由$X = (E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}$，且$E-A^2 = (E-A)(E+A)$，得
$$X = (E-A)^{-1} \cdot (E+A)^{-1}(E-A)^{-1} = [(E-A)^{-1}(E+A)^{-1}](E-A)^{-1}.$$
由于$(E-A)^{-1}$与$(E+A)^{-1}$可交换，所以
$$X = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}(E-A)^{-1} = (E+A)^{-1}[(E-A)^{-1}]^2.$$
最终，$X$的表达式为：
$$X = (E+A)^{-1}[(E-A)^{-1}]^2.$$
验证：若$A$满足$A^2 = O$（幂零矩阵），则$E-A$和$E+A$均可逆，且$(E-A)^{-1}=E+A$，$(E+A)^{-1}=E-A$，代入得$X = (E-A)(E+A)^2$，而原式$X=(E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}=(E+A)(E)^{-1}=E+A$，两者相等？实际上当$A^2=O$时，$(E-A)^{-1}=E+A$，$(E-A^2)^{-1}=E$，所以$X=E+A$；而$(E+A)^{-1}=E-A$，$[(E-A)^{-1}]^2=(E+A)^2=E+2A$，乘积为$(E-A)(E+2A)=E+A-2A^2=E+A$，一致。因此表达式正确。
公式：X = (E+A)^{-1}[(E-A)^{-1}]^2
提示：注意验证$E-A$与$E+A$可交换，从而它们的逆也可交换。