2015年考研数学二第3题

已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为 $f(0)=0$，当 $x\neq 0$ 时 $f(x)=x^{\alpha}\cos\frac{1}{x^{\beta}}$（$\alpha>0,\beta>0$）。要求 $f'(0)$，需利用导数的定义： $$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{\alpha}\cos\frac{1}{x^{\beta}}-0}{x}=\lim_{x\to 0}x^{\alpha-1}\cos\frac{1}{x^{\beta}}.$$ 该极限的存在性取决于 $\alpha$ 与 $\beta$ 的取值。由于 $\cos\frac{1}{x^{\beta}}$ 在 $x\to 0$ 时振荡无极限，但绝对值不超过1，因此极限存在的充要条件是 $x^{\alpha-1}$ 在 $x\to 0$ 时趋于0，从而由夹逼定理可得极限为0。具体分析如下： 当 $\alpha-1>0$ 即 $\alpha>1$ 时，$x^{\alpha-1}\to 0$，而 $\left|\cos\frac{1}{x^{\beta}}\right|\leq 1$，故 $$\left|x^{\alpha-1}\cos\frac{1}{x^{\beta}}\right|\leq |x^{\alpha-1}|\to 0,$$ 由夹逼定理知极限为0，即 $f'(0)=0$。 当 $\alpha-1=0$ 即 $\alpha=1$ 时，极限化为 $\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x^{\beta}}$，该极限不存在（振荡），故 $f'(0)$ 不存在。 当 $\alpha-1<0$ 即 $0<\alpha<1$ 时，$x^{\alpha-1}\to\infty$，而 $\cos\frac{1}{x^{\beta}}$ 振荡，极限不存在（无穷振荡），故 $f'(0)$ 不存在。 因此，$f'(0)$ 存在且等于0的条件是 $\alpha>1$，与 $\beta$ 无关。本步骤得出该条件，为后续步骤（如讨论 $f'(x)$ 的连续性）奠定基础。

根据导数的定义，函数$f(x)$在$x=0$处的导数为： $$f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{x^\alpha \cos\left(\frac{1}{x^\beta}\right)-0}{x}=\lim_{x \to 0}x^{\alpha-1}\cos\left(\frac{1}{x^\beta}\right).$$ 由于$\left|\cos\left(\frac{1}{x^\beta}\right)\right|\leq 1$，因此极限的存在性与值取决于因子$x^{\alpha-1}$的性态。 分三种情况讨论： 1. 当$\alpha-1>0$，即$\alpha>1$时，$x^{\alpha-1}\to 0$，而余弦函数有界，由无穷小乘以有界量仍为无穷小，得极限为$0$，故$f'(0)=0$。 2. 当$\alpha-1=0$，即$\alpha=1$时，极限化为$\lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1}{x^\beta}\right)$。由于$\cos\left(\frac{1}{x^\beta}\right)$在$x\to 0$时振荡无极限（除非$\beta=0$，但此处$\beta>0$），因此极限不存在，$f'(0)$不存在。 3. 当$\alpha-1<0$，即$\alpha<1$时，$x^{\alpha-1}\to \infty$，而余弦函数不趋于零，导致极限为无穷大（或不存在），故$f'(0)$不存在。 综上所述，$f'(0)=0$当且仅当$\alpha>1$。

当$x>0$时，函数$f(x)=x^{\alpha}\cos\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)$。为求导，将$f(x)$视为两个函数的乘积：$u(x)=x^{\alpha}$，$v(x)=\cos\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)$。根据乘积法则，$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。 首先求$u'(x)$：$u'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$。 其次求$v'(x)$。令$g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}=x^{-\beta}$，则$v(x)=\cos(g(x))$。由链式法则，$v'(x)=-\sin(g(x))\cdot g'(x)$。而$g'(x)=-\beta x^{-\beta-1}$，因此$v'(x)=-\sin\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)\cdot(-\beta x^{-\beta-1})=\beta x^{-\beta-1}\sin\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)$。 代入乘积法则： $$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\cos\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)+x^{\alpha}\cdot\beta x^{-\beta-1}\sin\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)$$ 合并幂次：$x^{\alpha}\cdot x^{-\beta-1}=x^{\alpha-\beta-1}$，得到最终表达式： $$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\cos\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)+\beta x^{\alpha-\beta-1}\sin\left(\frac{1}{x^{\beta}}\right)$$ 此即为$x>0$时$f'(x)$的表达式。

我们需要分析当$x \to 0^+$时，导函数$f'(x)$的极限行为。由前一步骤已知，对于$x > 0$， $$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos\frac{1}{x^\beta} + \beta x^{\alpha-\beta-1} \sin\frac{1}{x^\beta}.$$ 我们考虑极限$\lim_{x \to 0^+} f'(x)$。 首先看第一项：$\alpha x^{\alpha-1} \cos(1/x^\beta)$。由于$\cos(1/x^\beta)$是有界函数（绝对值不超过1），该项的极限由因子$x^{\alpha-1}$决定。当$\alpha > 1$时，$\alpha-1 > 0$，因此$x^{\alpha-1} \to 0$，从而第一项趋于0。当$\alpha \le 1$时，$x^{\alpha-1}$不趋于0（可能趋于无穷大或常数），但由于余弦振荡，极限不存在。 再看第二项：$\beta x^{\alpha-\beta-1} \sin(1/x^\beta)$。同样，$\sin(1/x^\beta)$有界。该项的极限由指数$\alpha-\beta-1$决定。若$\alpha-\beta-1 > 0$，即$\alpha - \beta > 1$，则$x^{\alpha-\beta-1} \to 0$，第二项趋于0。若$\alpha-\beta-1 = 0$，则第二项为$\beta \sin(1/x^\beta)$，极限不存在（振荡）。若$\alpha-\beta-1 < 0$，则$x^{\alpha-\beta-1} \to +\infty$，第二项无界振荡，极限不存在。 因此，要使$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0$，必须同时满足$\alpha > 1$和$\alpha - \beta > 1$。注意，当$\alpha > 1$且$\alpha - \beta > 1$时，两项均趋于0，故极限为0。

由前几步分析，已知$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$。$f'(x)$在$x=0$处连续的条件是$\lim_{x\to 0^+} f'(x) = f'(0)=0$。 当$x>0$时，$f(x)=x^\alpha \sin\frac{1}{x^\beta}$，求导得 $$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x^\beta} - \beta x^{\alpha-\beta-1}\cos\frac{1}{x^\beta}.$$ 考虑$x\to 0^+$时的极限。第一项$\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x^\beta}$，由于$\left|\sin\frac{1}{x^\beta}\right|\le 1$，当$\alpha-1>0$即$\alpha>1$时，该项趋于$0$；若$\alpha-1=0$即$\alpha=1$，则该项振荡无极限；若$\alpha-1<0$即$\alpha<1$，则该项趋于无穷大。因此，要使第一项极限为$0$，必须$\alpha>1$。 第二项$-\beta x^{\alpha-\beta-1}\cos\frac{1}{x^\beta}$，由于$\left|\cos\frac{1}{x^\beta}\right|\le 1$，当$\alpha-\beta-1>0$即$\alpha-\beta>1$时，该项趋于$0$；若$\alpha-\beta-1=0$即$\alpha-\beta=1$，则该项振荡无极限；若$\alpha-\beta-1<0$即$\alpha-\beta<1$，则该项趋于无穷大。因此，要使第二项极限为$0$，必须$\alpha-\beta>1$。 综合两项，$\lim_{x\to 0^+} f'(x)=0$的条件是$\alpha>1$且$\alpha-\beta>1$。由于$\alpha-\beta>1$已经隐含了$\alpha>1$（因为$\beta$是正数），故最终条件为$\alpha-\beta>1$。 对应选项为(A)。