2016年考研数学二第13题

首先，根据题意，曲线为 $y = x^3$，点 $P$ 在该曲线上，因此可设 $P$ 的坐标为 $(x, x^3)$。原点 $O$ 的坐标为 $(0, 0)$。点 $P$ 到原点的距离 $l$ 由两点间距离公式给出：$l = \sqrt{(x - 0)^2 + (x^3 - 0)^2} = \sqrt{x^2 + x^6}$。由于距离 $l$ 非负，且平方根函数单调递增，为简化后续求最值的过程，通常考虑距离的平方 $L = l^2 = x^2 + x^6$。这样，求 $l$ 的最小值等价于求 $L$ 的最小值，因为 $l \geq 0$ 且 $l$ 与 $L$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调性一致。因此，我们建立目标函数 $L(x) = x^2 + x^6$，其中 $x \in \mathbb{R}$。注意，由于 $x^2$ 和 $x^6$ 均为偶函数，$L(x)$ 是偶函数，最小值点关于 $y$ 轴对称，故只需考虑 $x \geq 0$ 的情况。

已知曲线方程为 $y = \sqrt{x^2 + x^6}$，其中 $x$ 和 $y$ 都是时间 $t$ 的函数。我们需要求出 $rac{dy}{dt}$ 与 $rac{dx}{dt}$ 之间的关系。 将 $l = y = \sqrt{x^2 + x^6}$ 视为 $t$ 的函数，利用链式法则对 $t$ 求导。设 $u = x^2 + x^6$，则 $l = u^{1/2}$。 首先对 $u$ 求导： $$\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2 + x^6) = 2x \frac{dx}{dt} + 6x^5 \frac{dx}{dt} = (2x + 6x^5) \frac{dx}{dt}.$$ 然后对 $l$ 求导： $$\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt}(u^{1/2}) = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dt}.$$ 将 $u = x^2 + x^6$ 代回，得到： $$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot (2x + 6x^5) \frac{dx}{dt}.$$ 因此，所求的导数为： $$\frac{dy}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot \frac{dx}{dt}.$$ 化简分子分母的公因子 $2$： $$\frac{dy}{dt} = \frac{x + 3x^5}{\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot \frac{dx}{dt}.$$ 这就是曲线 $y = \sqrt{x^2 + x^6}$ 上点的纵坐标关于时间的变化率与横坐标变化率之间的关系。

已知点$P$沿曲线$y = \frac{1}{x}$（$x > 0$）运动，其横坐标$x$随时间$t$变化，且$\frac{dx}{dt} = v_0$（$v_0$为常数）。在步骤2中，我们已求得点$P$处切线在$x$轴上的截距表达式为$X = x - y \cdot \frac{dx}{dy}$，或利用参数形式。更直接地，由曲线方程$y = \frac{1}{x}$，得$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$。切线方程为$Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$。令$Y=0$，解得$X = x - \frac{y}{dy/dx} = x - \frac{1/x}{-1/x^2} = x + x = 2x$。因此切线在$x$轴上的截距为$2x$。 现在，题目要求当点$P$运动到$(1,1)$时，即$x=1$，$y=1$。已知$\frac{dx}{dt} = v_0$，我们需要求出此时切线在$x$轴上的截距的变化率$\frac{dX}{dt}$。由$X = 2x$，两边对$t$求导得$\frac{dX}{dt} = 2\frac{dx}{dt}$。代入已知条件$\frac{dx}{dt} = v_0$，得$\frac{dX}{dt} = 2v_0$。 因此，当$P$运动到$(1,1)$时，切线在$x$轴上的截距的变化率为$2v_0$。注意，此处结果与$x$的具体数值无关，因为$X$与$x$成线性关系，导数恒为$2v_0$。

在第三步中，我们已经得到了距离函数对时间的导数表达式： $$\frac{dl}{dt} = \frac{8}{2\sqrt{2}} v_0$$ 现在进行化简计算。首先处理分母中的系数： $$\frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 将有理化处理： $$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ 因此， $$\frac{dl}{dt} = 2\sqrt{2} \, v_0$$ 这就是所求的瞬时变化率。最终答案为 $2\sqrt{2}v_0$。 验证：从量纲上看，$v_0$ 是速度（长度/时间），$2\sqrt{2}$ 是无量纲常数，因此 $\frac{dl}{dt}$ 的量纲为长度/时间，符合速度的量纲。另外，当 $v_0>0$ 时，$\frac{dl}{dt}>0$，说明距离随时间增加而增大，符合几何直观。