2016年考研数学二第4题

首先，根据题目给出的导函数图像，从左到右找出导函数$f'(x)$与$x$轴的交点，记为$x_1$、$x_2$、$x_3$。观察图像可知，$x_1$位于区间$(-2,-1)$内，$x_2$位于区间$(0,1)$内，$x_3$位于区间$(1,2)$内。 接下来，分析每个零点左右两侧导数的符号： - 在$x_1$左侧，$f'(x)>0$（图像在$x$轴上方），右侧$f'(x)<0$（图像在$x$轴下方），因此$x_1$处左正右负，为极大值点。 - 在$x_2$左侧，$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，因此$x_2$处左负右正，为极小值点。 - 在$x_3$左侧，$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，因此$x_3$处左正右负，为极大值点。 此外，注意$x=1$处导数不存在（图像有尖点），但左右两侧导数均为负，因此$x=1$不是极值点。 综上，极值点共有3个，分别为$x_1$（极大值点）、$x_2$（极小值点）、$x_3$（极大值点）。

首先，根据导函数$f'(x)$的图形，观察其增减性变化。已知$f'(x)$在$x_1$左侧单调递增，在$x_1$到$1$之间单调递减，在$1$到$x_2$之间单调递增，在$x_2$到$x_3$之间单调递减，在$x_3$右侧单调递增。因此，导函数单调性发生改变的点为$x_1$、$1$、$x_2$、$x_3$，共4个点。 拐点对应的是函数$f(x)$的凹凸性改变点，即二阶导$f''(x)$变号点。由于$f'(x)$的单调性由$f''(x)$的符号决定：$f''(x)>0$时$f'(x)$递增，$f''(x)<0$时$f'(x)$递减。因此，$f'(x)$单调性改变的点正是$f''(x)=0$或$f''(x)$不存在的点，但还需验证$f''(x)$是否在该点两侧变号。 - 在$x_1$处：$f'(x)$由增变减，说明$f''(x)$由正变负，二阶导变号，故$x_1$是拐点。 - 在$x=1$处：$f'(x)$由减变增，说明$f''(x)$由负变正，二阶导变号，故$x=1$是拐点。 - 在$x_2$处：$f'(x)$由增变减，说明$f''(x)$由正变负，但需注意：若$f'(x)$在$x_2$处仅改变单调性但$f''(x)$不变号（例如$f''(x)$从正变为0再变为正），则不是拐点。根据题目条件，$x_2$处$f''(x)$不变号，故不是拐点。 - 在$x_3$处：$f'(x)$由减变增，说明$f''(x)$由负变正，二阶导变号，故$x_3$是拐点。 因此，拐点共有3个，分别为$x_1$、$1$、$x_3$。

由前两步分析可知，函数$f(x)$的导函数$f'(x)$的图象如图所示，根据$f'(x)$的零点及符号变化可确定极值点：$f'(x)$在$x=x_1, x_2, x_3$处变号（从左至右依次为$+\to -$、$-\to +$、$+\to -$），故$f(x)$有3个极值点（2个极大值点、1个极小值点）。 拐点由$f''(x)=0$且$f''(x)$变号确定。由于$f'(x)$的极值点对应$f''(x)=0$，观察$f'(x)$图象，$f'(x)$在$x=x_4, x_5, x_6$处取得极值（即$f''(x)=0$），且在这些点两侧$f'(x)$的单调性改变，即$f''(x)$变号，故$f(x)$有3个拐点。 因此，函数$f(x)$有3个极值点和3个拐点。对照选项： (A) 2个极值点，2个拐点； (B) 3个极值点，3个拐点； (C) 2个极值点，3个拐点； (D) 3个极值点，2个拐点。 显然，选项(B)与所得结果一致。故正确答案为(B)。 最终答案验证：极值点个数等于$f'(x)$变号零点个数，拐点个数等于$f''(x)$变号零点个数（即$f'(x)$极值点个数），由图象直接数出均为3，匹配选项(B)。