2017年考研数学二第15题

首先，我们处理分子中的积分 $\int_0^x \sqrt{x-t} \, e^t \, dt$。为了将其化为更易处理的形式，采用变量代换法。令 $u = x - t$，则 $t = x - u$，且 $dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = x$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。因此积分限需要交换： $$ \int_0^x \sqrt{x-t} \, e^t \, dt = \int_{u=x}^{u=0} \sqrt{u} \, e^{x-u} \, (-du) = \int_0^x \sqrt{u} \, e^{x-u} \, du. $$ 由于 $e^{x-u} = e^x \cdot e^{-u}$，且 $e^x$ 与积分变量 $u$ 无关，可以提到积分号外： $$ \int_0^x \sqrt{x-t} \, e^t \, dt = e^x \int_0^x \sqrt{u} \, e^{-u} \, du. $$ 最后，将积分变量 $u$ 重新记为 $t$（因为定积分与变量名称无关），得到化简后的形式： $$ \int_0^x \sqrt{x-t} \, e^t \, dt = e^x \int_0^x \sqrt{t} \, e^{-t} \, dt. $$ 这样，原积分中的根号内变量与指数函数变量分离，为后续步骤（如求导或进一步积分）创造了便利条件。

根据题目信息，我们需要将原极限表达式转化为便于计算的形式。原极限为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2} e^{-x}}$。注意到分母中含有 $e^{-x}$，而分子中的被积函数也含有 $e^{-u}$，这提示我们可以通过变形将 $e^{-x}$ 与积分结合。具体地，将原极限改写为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2} e^{-x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2}}. $$ 这里我们利用了 $\frac{1}{e^{-x}} = e^x$，将分母中的 $e^{-x}$ 移到分子上，从而得到新的极限表达式。这个形式更便于后续应用洛必达法则或等价无穷小替换，因为分子是 $e^x$ 乘以一个积分，分母是 $x^{3/2}$。注意，当 $x \to 0^+$ 时，$e^x \to 1$，但为了严谨，我们保留 $e^x$ 因子，后续步骤中再处理。 因此，本步骤的目标极限表达式为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2}}. $$

本步骤的目标是将被积函数 $\sqrt{u} e^{-u}$ 展开为幂级数形式，以便后续逐项积分。首先回忆指数函数 $e^x$ 的麦克劳林展开式： $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ 将 $x$ 替换为 $-u$，得到 $e^{-u}$ 的展开式： $$e^{-u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-u)^n}{n!} = 1 - u + \frac{u^2}{2!} - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} - \cdots$$ 现在将被积函数 $\sqrt{u} e^{-u}$ 写成 $u^{1/2} e^{-u}$，然后将 $e^{-u}$ 的展开式代入： $$\sqrt{u} e^{-u} = u^{1/2} \left(1 - u + \frac{u^2}{2!} - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} - \cdots \right)$$ 利用幂的乘法法则 $u^{1/2} \cdot u^n = u^{n+1/2}$，逐项相乘得到： $$\sqrt{u} e^{-u} = u^{1/2} - u^{3/2} + \frac{u^{5/2}}{2!} - \frac{u^{7/2}}{3!} + \frac{u^{9/2}}{4!} - \cdots$$ 即 $$\sqrt{u} e^{-u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} u^{n+1/2}$$ 这个幂级数在 $u \geq 0$ 时收敛，适用于后续的积分区间。展开后，原积分 $\int_0^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u} \, du$ 转化为逐项积分的形式： $$\int_0^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u} \, du = \int_0^{+\infty} \left( u^{1/2} - u^{3/2} + \frac{u^{5/2}}{2!} - \frac{u^{7/2}}{3!} + \cdots \right) du$$ 这样就将一个非初等积分转化为一系列幂函数积分的和，为下一步逐项积分做好准备。

将上一步得到的被积函数展开式代入积分，得到： $$ \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du = \int_0^x \sqrt{u} \left(1 - u + \frac{u^2}{2!} - \frac{u^3}{3!} + \cdots \right) du. $$ 逐项积分，每一项形如 $\int_0^x u^{k+1/2} \, du$，其中 $k=0,1,2,\dots$。计算通项： $$ \int_0^x u^{k+\frac12} \, du = \frac{x^{k+\frac32}}{k+\frac32} = \frac{2}{2k+3} x^{k+\frac32}. $$ 因此， $$ \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \cdot \frac{2}{2k+3} x^{k+\frac32}. $$ 取前两项得到主项： - 当 $k=0$ 时，系数为 $\frac{2}{3}$，项为 $\frac{2}{3} x^{3/2}$； - 当 $k=1$ 时，系数为 $-\frac{2}{5}$，项为 $-\frac{2}{5} x^{5/2}$。 所以积分展开为： $$ \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du = \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{2}{5} x^{5/2} + \cdots. $$ 当 $x \to 0^+$ 时，主导项为 $\frac{2}{3} x^{3/2}$，即主项为 $\frac{2}{3} x^{3/2}$。

将前一步得到的等价无穷小替换结果代入原极限表达式。原极限为 $\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x \cdot \frac{2}{3}x^{3/2}}{x^{3/2}}$。分子分母同时含有 $x^{3/2}$，且 $x\to 0^+$ 时 $x^{3/2}\neq 0$，因此可以直接约去 $x^{3/2}$，得到 $\lim_{x\to 0^+} e^x \cdot \frac{2}{3}$。由于 $e^x$ 在 $x=0$ 处连续，代入 $x=0$ 得 $e^0=1$，故极限值为 $\frac{2}{3}$。最终答案为 $\boxed{\dfrac{2}{3}}$。验证：将 $x=0.01$ 代入原式近似计算，结果接近 $0.6667$，与 $\frac{2}{3}$ 一致。