2017年考研数学二第19题
📝 题目
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(1)\gt 0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{f(x)}{x}\lt 0$ 。证明： （I）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根； （II）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根。
💡 答案解析
好的，我们先分两部分逐步详细证明，并保持推理清晰。以下为完整解答过程。
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**（I）证明方程 \( f(x)=0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在一个实根**
已知条件是 1. \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上有二阶导数，因此连续且可导。 2. \( f(1)>0 \)。 3. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0\)。
由极限存在的条件，可知
\[ \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x} = A < 0. \]
由于分母 \(x>0\) 趋向于 0，而极限是负数，因此分子 \(f(x)\) 必定在 \(x\) 充分接近 0 时也为负数。更严格地，取 \(\varepsilon = \frac{|A|}{2}>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得当 \(0 \[
\frac{f(x)}{x} < \frac{A}{2} < 0,
\] 于是对这样的 \(x\)，有 \(f(x) < 0\)。特别地，存在一点 \(a\in(0,\delta)\) 使得 \(f(a)<0\)。 另一方面，已知 \(f(1)>0\)。区间 \([a,1]\) 上 \(f\) 连续，且 \(f(a)<0\)、\(f(1)>0\)，由零点定理可知存在至少一个 \(\xi \in (a,1) \subset (0,1)\) 使得
\[
f(\xi)=0.
\] 因此方程至少有一个实根。 **（I）证毕。** --- **（II）证明方程 \(f(x) f''(x) + [f'(x)]^2 = 0\) 在 \((0,1)\) 内至少有两个不同实根** 首先观察这个表达式： \[
f(x) f''(x) + [f'(x)]^2 = \frac{d}{dx}\big[ f(x) f'(x) \big].
\]
因为
\[
\frac{d}{dx}(f f') = f' \cdot f' + f \cdot f'' = [f'(x)]^2 + f(x) f''(x).
\] 所以我们只需要证明
\[
\frac{d}{dx}\big[ f(x) f'(x) \big] = 0
\]
在 (0,1) 内至少有两个不同的解。 记
\[
g(x) = f(x) f'(x).
\]
那么我们需要证明 \(g'(x)=0\) 在(0,1)内至少有两个不同实根。 --- **第一步：找出\(g(x)\)的三个不同零点** 由（I）我们知道存在一点 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(f(\xi)=0\)。于是显然
\[
g(\xi) = f(\xi) f'(\xi)=0.
\] 接下来我们考察 \(x=0\) 附近的情形。由条件
\[
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=A<0,
\]
可知 \(f(0)\) 必须为0（否则商的极限是无穷大），因此
\[
f(0)=0.
\]
又可由极限定义得到
\[
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0) = A <0,
\]
所以 \(f'(0) < 0\)。 因而在 \(x=0\) 处，
\[
g(0) = f(0) f'(0) = 0 \cdot f'(0) = 0.
\] 另外又有 \(f(1)>0\)。但由于 \(f\) 在零点为零，且\(f'(0)<0\)，\(f\) 会先下降为负，再上升穿过零点到达正数。我们如果还能找到另一个不同于 \(\xi\) 的零点就好了。 其实可以更直接：因为我们已知 \(f(0)=0\)、且有 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(f(\xi)=0\)，再由罗尔定理，存在 \(\eta \in (0,\xi)\) 使 \(f'(\eta)=0\)。于是
\[
g(\eta)= f(\eta) f'(\eta) = f(\eta) \cdot 0 = 0.
\] 这说明我们找到了三个点
\[
x=0,\quad x=\eta,\quad x=\xi
\]
满足 \(g(x)=0\)，且 \(0<\eta<\xi<1\)。 --- **第二步：应用罗尔定理于\(g(x)\)** 函数 \(g\) 在 \([0,\eta]\) 上连续可导，且 \(g(0)=g(\eta)=0\)，由罗尔定理，存在 \(c_1 \in (0,\eta)\) 使得
\[
g'(c_1)=0.
\] 同理，在区间 \([\eta,\xi]\) 上 \(g(\eta)=g(\xi)=0\)，于是存在 \(c_2\in(\eta,\xi)\) 使
\[
g'(c_2)=0.
\] 显然 \(c_1\) 和 \(c_2\) 不同，且都在(0,1)内。这样我们就得到了 \(g'(x)=0\) 即
\[
f(x)f''(x) + [f'(x)]^2=0
\]
在(0,1)内至少两个不同的实根。 **（II）证毕。** --- **最终答案总结**
- 第一问用零点定理。
- 第二问转化为对函数 \(g(x)=f(x)f'(x)\) 的导数零点问题，利用 \(f(0)=0\)、某点导数为零（由罗尔定理得到）、以及之前得到的根来构造两个区间，再用罗尔定理得出两个不同驻点。 \[
\boxed{}
\]