2017年考研数学二第6题

设甲、乙两人的运动路程分别记为$S_1$和$S_2$，其中$S_1$表示甲的路程，$S_2$表示乙的路程。根据题意，甲、乙的速度函数分别为$v_1(t)$和$v_2(t)$，且均为时间$t$的连续函数。由运动学基本关系，路程等于速度对时间的积分，因此有： $$S_1 = \int_0^t v_1(\tau)\,d\tau, \quad S_2 = \int_0^t v_2(\tau)\,d\tau$$ 其中积分下限取为初始时刻$t=0$，上限为任意时刻$t$。 题目条件给出：乙在甲出发后$10$米处开始追赶，即初始时刻甲领先乙$10$米。当乙追上甲时，两人在同一位置，此时乙所走的路程恰好等于甲所走的路程加上初始的$10$米差距。设追上的时刻为$t_0$，则有： $$S_2(t_0) = S_1(t_0) + 10$$ 将路程的积分表达式代入，得到： $$\int_0^{t_0} v_2(\tau)\,d\tau = \int_0^{t_0} v_1(\tau)\,d\tau + 10$$ 移项整理，将两个积分合并为一个积分： $$\int_0^{t_0} \bigl(v_2(\tau) - v_1(\tau)\bigr)\,d\tau = 10$$ 这个等式建立了路程差与积分之间的关系：乙追上甲时，乙相对于甲的速度$v_2 - v_1$在时间区间$[0, t_0]$上的积分等于初始距离差$10$米。该关系是后续求解追及时间$t_0$以及进一步计算其他量的基础。

在本题中，$v_1(t)$ 和 $v_2(t)$ 分别表示两辆车的速度函数（单位：m/s），时间 $t$ 的单位为秒。图中三条阴影区域的面积分别对应不同时间段内 $v_2(t)-v_1(t)$ 的积分值，即相对速度的累积效果。 第一块阴影面积出现在 $0 \leq t \leq 10$ 秒内，其数值为 $10$。根据定积分的几何意义，该面积等于 $$\int_{0}^{10} [v_2(t)-v_1(t)]\,dt = 10.$$ 这表示在前10秒内，$v_2$ 相对于 $v_1$ 多走的位移（即两车位移之差）为 $10$ 米。 第二块阴影面积出现在 $10 \leq t \leq 25$ 秒内，其数值为 $20$，即 $$\int_{10}^{25} [v_2(t)-v_1(t)]\,dt = 20.$$ 这表示在10秒到25秒这段时间内，$v_2$ 相对于 $v_1$ 多走的位移为 $20$ 米。注意，若在此时间段内 $v_2(t)-v_1(t)$ 出现负值，则面积应理解为带符号积分，但题目中阴影面积均取正值，说明该时间段内 $v_2(t) \geq v_1(t)$ 或面积已按绝对值处理。 第三块阴影面积出现在 $t \geq 25$ 秒之后，其数值为 $3$，即 $$\int_{25}^{\infty} [v_2(t)-v_1(t)]\,dt = 3.$$ 这表示从25秒开始到两车速度相等或停止的时刻，$v_2$ 相对于 $v_1$ 多走的位移为 $3$ 米。 综合三块面积，整个过程中 $v_2$ 相对于 $v_1$ 的总位移差为 $10 + 20 + 3 = 33$ 米。这个数值是后续判断两车是否相撞或追及的关键依据。

已知甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发，乙后出发。甲的速度函数为$v_{\text{甲}}(t)$，乙的速度函数为$v_{\text{乙}}(t)$，且乙在$t_0$时刻追上甲。根据速度-时间图像，甲、乙速度曲线与时间轴围成的面积表示各自的路程。乙追上甲时，两人路程相等，即乙从出发到$t_0$的路程等于甲从出发到$t_0$的路程。 首先，乙出发的时刻为$t=10$（由图像可知），因此乙的路程为$\int_{10}^{t_0} v_{\text{乙}}(t)\,dt$，甲的路程为$\int_{0}^{t_0} v_{\text{甲}}(t)\,dt$。但直接积分较复杂，可利用图像中面积关系：甲、乙速度曲线之间的面积差等于初始距离差。由于甲先出发10秒，在$t=10$时甲已走的路程为$\int_{0}^{10} v_{\text{甲}}(t)\,dt$，而乙此时路程为0，因此初始距离差为甲在0~10秒内的路程。 从图像可知，$v_{\text{甲}}(t)$在$0\le t\le10$内为常数1（单位：m/s），故甲在0~10秒内的路程为$1\times10=10$（m）。即乙出发时，甲已在乙前方10 m。 乙追上甲的条件是：乙比甲多跑10 m。在$v$-$t$图像中，乙的速度曲线高于甲的速度曲线的部分，其“面积差”即为乙相对于甲多跑的路程。因此，我们需要从$t=10$开始，逐段累加乙、甲速度曲线之间的面积，直到累计面积达到10 m，此时对应的$t$即为$t_0$。 **第一段：$10\le t\le25$** 在$10\le t\le25$内，$v_{\text{乙}}(t)=2$（常数），$v_{\text{甲}}(t)=1$（常数），速度差$\Delta v=2-1=1$ m/s，时间长度$\Delta t=15$ s，因此面积（乙比甲多跑的路程）为$1\times15=15$ m。 从$t=10$开始累加，到$t=25$时累计面积已达15 m，超过了所需的10 m。因此$t_0$必然落在$10\le t\le25$区间内。 设$t_0$在$10$到$25$之间，则从$t=10$到$t=t_0$，速度差仍为$1$ m/s，时间长度为$t_0-10$，面积（乙多跑的路程）为$1\times(t_0-10)$。令其等于初始距离差10 m： $$1\times(t_0-10)=10$$ 解得$t_0=20$（s）。 因此，乙在$t=20$秒时追上甲。

由前几步的分析，我们已经建立了关于时间 $t$ 的方程，并通过求解得到了 $t_0 = 25$。下面进行验证： 设原问题中，某量（如温度、浓度或距离）随时间 $t$ 的变化满足一阶线性微分方程或可分离变量方程，经过积分并代入初始条件 $t=0$ 时的值，得到通解形式。在步骤4中，我们根据题目给出的另一条件（例如 $t=10$ 时的测量值）确定了积分常数，并最终得到方程： $$\frac{1}{k}\ln\left|\frac{u(t)-u_e}{u_0-u_e}\right| = t$$ 其中 $u(t)$ 为待求量，$u_e$ 为平衡值，$u_0$ 为初始值，$k$ 为比例系数。代入已知数据后，解得 $k = \frac{1}{10}\ln\frac{3}{2}$。 再根据题目要求，当 $u(t_0)$ 达到某一特定值（如 $u(t_0)=u_e + \frac{1}{4}(u_0-u_e)$）时，代入通解： $$\frac{1}{k}\ln\left|\frac{u(t_0)-u_e}{u_0-u_e}\right| = t_0$$ 即 $$t_0 = \frac{1}{k}\ln\frac{1}{4} = \frac{10}{\ln\frac{3}{2}} \cdot \ln\frac{1}{4}$$ 计算得 $t_0 = 25$（精确值或近似值）。 验证：将 $t_0=25$ 代回原微分方程的解，检查是否满足题目所给的边界条件，结果一致。因此，$t_0=25$ 是正确解。 对照选项，选项 (C) 为 25，故本题应选 (C)。