2017年考研数学二第9题
📝 题目
曲线 $y=x\left(1+\arcsin \displaystyle\frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: $y=x+2$ ．
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**解析**:
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\arcsin \displaystyle\frac{2}{x}\right)=1$ ，
$$ \lim _{x \rightarrow \infty}(y-x)=\lim _{x \rightarrow \infty} x \arcsin \frac{2}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\arcsin \frac{2}{x}}{\frac{1}{x}}=2 $$
则斜渐近线方程为 $y=x+2$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算斜率k
首先，根据斜渐近线的定义，若曲线$y=f(x)$有斜渐近线$y=kx+b$，则斜率$k$由极限$k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{y}{x}$确定。本题中$y=x\left(1+\arcsin\frac{2}{x}\right)$，因此
$$
k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x\left(1+\arcsin\frac{2}{x}\right)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\arcsin\frac{2}{x}\right).
$$
当$x\to\infty$时，$\frac{2}{x}\to 0$，而$\arcsin t$在$t=0$处连续，且$\arcsin 0=0$，故
$$
k=1+\arcsin 0=1+0=1.
$$
因此，所求斜渐近线的斜率为$k=1$。
公式：$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\arcsin\frac{2}{x}\right)=1+\arcsin 0=1$$
提示：求斜渐近线斜率时，直接对$y/x$取极限，注意无穷小量的处理。
步骤 3/3
目标：写出斜渐近线方程
由前两步计算已得斜率 $k = 1$ 和截距 $b = 2$。斜渐近线的一般形式为 $y = kx + b$，因此直接将 $k$ 和 $b$ 代入即得斜渐近线方程为 $$y = x + 2.$$ 验证：当 $x \to +\infty$ 时，函数 $f(x)$ 与直线 $y = x + 2$ 的差趋于 $0$，即 $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+2)] = 0$，满足斜渐近线的定义。因此所求斜渐近线方程为 $y = x + 2$。
公式：y = x + 2
提示：斜渐近线方程直接代入k和b即可，注意符号。
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