2018年考研数学二第11题

首先，我们需要对分母 $x^2 - 4x + 3$ 进行因式分解。这是一个二次三项式，其一般形式为 $ax^2 + bx + c$，其中 $a = 1$，$b = -4$，$c = 3$。 因式分解的目标是找到两个数 $p$ 和 $q$，使得 $p + q = b = -4$ 且 $p \cdot q = c = 3$。 考虑所有可能的整数对，其乘积为 3： - $1 \times 3 = 3$，此时 $1 + 3 = 4$，不等于 $-4$。 - $(-1) \times (-3) = 3$，此时 $(-1) + (-3) = -4$，符合条件。 因此，$p = -1$，$q = -3$。 于是，二次三项式可以分解为： $$x^2 - 4x + 3 = (x + p)(x + q) = (x - 1)(x - 3)$$。 为了验证分解是否正确，可以将 $(x-1)(x-3)$ 展开： $$(x-1)(x-3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + (-1) \cdot x + (-1) \cdot (-3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$$。 展开结果与原分母一致，说明因式分解正确。 因此，分母 $x^2 - 4x + 3$ 分解为 $(x-1)(x-3)$。

在完成有理函数分解后，我们得到被积函数可以表示为两个简单分式的差： $$ \frac{1}{(x-3)(x-1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1}\right) $$ 因此，原反常积分可以写成： $$ \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{(x-3)(x-1)} \, dx = \frac{1}{2} \int_{5}^{+\infty} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} \right) dx $$ 这里，系数 $\frac{1}{2}$ 是从分解过程中提取出来的常数因子。注意，积分区间是从 $x=5$ 到 $x=+\infty$，两个分式的分母 $x-3$ 和 $x-1$ 在区间 $[5, +\infty)$ 上均不为零，因此没有瑕点，只需考虑无穷限的收敛性。 接下来，我们将分别对两个分式进行积分。根据基本积分公式： $$ \int \frac{1}{x-a} \, dx = \ln|x-a| + C $$ 所以有： $$ \frac{1}{2} \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x-3} \, dx = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln(x-3) \right]_{5}^{b} $$ $$ \frac{1}{2} \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x-1} \, dx = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln(x-1) \right]_{5}^{b} $$ 因此，原积分表达式为： $$ \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{(x-3)(x-1)} \, dx = \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \left( \ln\frac{b-3}{b-1} - \ln\frac{5-3}{5-1} \right) $$ 这个表达式将用于下一步计算极限和最终结果。

本步骤的目标是分别计算两个简单的不定积分。由步骤3的分解结果，原积分可表示为： $$ \int \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-3} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx. $$ 首先计算第一个积分 $\int \frac{1}{x-3} \, dx$。这是一个标准形式 $\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$，其中 $u = x-3$，$du = dx$。因此： $$ \int \frac{1}{x-3} \, dx = \ln|x-3| + C_1. $$ 其次计算第二个积分 $\int \frac{1}{x-1} \, dx$。同理，令 $u = x-1$，$du = dx$，得到： $$ \int \frac{1}{x-1} \, dx = \ln|x-1| + C_2. $$ 将两个结果代回原式，并合并常数项（令 $C = \frac{1}{2}(C_1 - C_2)$），得到： $$ \int \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x-3| - \frac{1}{2} \ln|x-1| + C = \frac{1}{2} \ln\left| \frac{x-3}{x-1} \right| + C. $$ 注意：这里使用了对数性质 $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，并且绝对值符号保证了定义域内表达式的有效性。最终结果是一个对数函数形式，其中分母 $x-1$ 和分子 $x-3$ 的差为常数，因此原函数在 $x<1$、$13$ 三个区间上分别定义。

首先，将积分结果表示为定积分形式： $$ \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{(x-1)(x-3)} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{1}{2} \ln\left| \frac{x-3}{x-1} \right| \right]_{5}^{b}. $$ 代入上限 $x = b$ 和下限 $x = 5$，得到： $$ \lim_{b \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \ln\left| \frac{b-3}{b-1} \right| - \frac{1}{2} \ln\left| \frac{5-3}{5-1} \right| \right). $$ 计算极限部分：当 $b \to +\infty$ 时，$\frac{b-3}{b-1} \to 1$，因此 $\ln\left| \frac{b-3}{b-1} \right| \to \ln 1 = 0$。所以第一项趋于 $0$。 计算下限部分：$\frac{5-3}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，因此 $\ln\left| \frac{1}{2} \right| = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2$。于是第二项为 $\frac{1}{2} \cdot (-\ln 2) = -\frac{1}{2} \ln 2$。 代入得： $$ 0 - \left( -\frac{1}{2} \ln 2 \right) = \frac{1}{2} \ln 2. $$ 因此，原反常积分的值为 $\frac{1}{2} \ln 2$。 验证：由于被积函数在区间 $[5, +\infty)$ 上连续且非负，积分收敛且结果为正，与 $\frac{1}{2} \ln 2 > 0$ 一致。