2018年考研数学二第13题

给定方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$，其中 $z = z(x,y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数。我们需要对方程两边关于 $x$ 求偏导，同时将 $y$ 视为常数。 首先，对左边第一项 $\ln z$ 求关于 $x$ 的偏导。由于 $z$ 是 $x$ 的函数，根据链式法则，有： $$\frac{\partial}{\partial x}(\ln z) = \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}.$$ 接着，对左边第二项 $e^{z-1}$ 求关于 $x$ 的偏导。同样应用链式法则，指数函数的导数为自身乘以内部函数的导数： $$\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{z-1}\right) = e^{z-1} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(z-1) = e^{z-1} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}.$$ 然后，对右边 $xy$ 求关于 $x$ 的偏导。此时 $y$ 视为常数，因此： $$\frac{\partial}{\partial x}(xy) = y.$$ 将以上结果组合起来，得到： $$\frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + e^{z-1} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = y.$$ 这就是对方程两边关于 $x$ 求偏导后的结果。注意，这里 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是未知的偏导数，后续步骤将需要进一步求解它。

已知点 $(2, \frac{1}{2})$ 满足原方程，即当 $x=2$ 时，$y=\frac{1}{2}$。将 $x=2$ 和 $y=\frac{1}{2}$ 代入原方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 中，得到： $$\ln z + e^{z-1} = 2 \times \frac{1}{2} = 1.$$ 因此，我们需要求解方程 $\ln z + e^{z-1} = 1$。 观察此方程，尝试 $z=1$： - $\ln 1 = 0$， - $e^{1-1} = e^0 = 1$， - 左边 $= 0 + 1 = 1$，右边 $= 1$，等式成立。 由于函数 $f(z) = \ln z + e^{z-1}$ 在 $z>0$ 时是严格单调递增的（因为 $f'(z) = \frac{1}{z} + e^{z-1} > 0$），所以方程有唯一解 $z=1$。 因此，代入已知点后求得 $z=1$。

已知前两步已得到隐函数关系式 $\frac{1}{z} + e^{z-1} = y$ 以及偏导关系式 $\left(\frac{1}{z} + e^{z-1}\right) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = y$。现在需要将给定点 $(x, y, z) = (2, \frac{1}{2}, 1)$ 代入该偏导关系式中，以求出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在该点的具体数值。 首先，代入 $z = 1$ 到括号内的表达式： $$ \frac{1}{z} + e^{z-1} = \frac{1}{1} + e^{1-1} = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2. $$ 因此，括号部分的值等于 $2$。 接着，代入 $y = \frac{1}{2}$，得到方程： $$ 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}. $$ 解此方程，两边同时除以 $2$： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}. $$ 因此，在点 $(2, \frac{1}{2}, 1)$ 处，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值为 $\frac{1}{4}$。 验证：将 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{4}$ 代回原方程，左边为 $2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，右边为 $\frac{1}{2}$，等式成立，结果正确。