2018年考研数学二第15题

首先，我们处理不定积分 $\int \arctan\sqrt{e^x-1} \, e^{2x} \, dx$。观察被积函数，发现 $e^{2x}$ 可以方便地凑微分。由于 $d(e^{2x}) = 2e^{2x}dx$，因此 $e^{2x}dx = \frac{1}{2} d(e^{2x})$。于是将原积分改写为： $$\int \arctan\sqrt{e^x-1} \cdot e^{2x} \, dx = \int \arctan\sqrt{e^x-1} \cdot \frac{1}{2} \, d(e^{2x}) = \frac{1}{2} \int \arctan\sqrt{e^x-1} \, d(e^{2x}).$$ 现在应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。令 $u = \arctan\sqrt{e^x-1}$，$dv = d(e^{2x})$，则 $v = e^{2x}$。于是： $$\frac{1}{2} \int \arctan\sqrt{e^x-1} \, d(e^{2x}) = \frac{1}{2} \left( e^{2x} \arctan\sqrt{e^x-1} - \int e^{2x} \, d\left(\arctan\sqrt{e^x-1}\right) \right).$$ 接下来需要计算微分 $d\left(\arctan\sqrt{e^x-1}\right)$。令 $t = \sqrt{e^x-1}$，则 $\arctan t$ 的微分为 $\frac{1}{1+t^2} dt$。而 $dt = \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \cdot e^x dx = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} dx$。因此： $$d\left(\arctan\sqrt{e^x-1}\right) = \frac{1}{1+(e^x-1)} \cdot \frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} dx = \frac{1}{e^x} \cdot \frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} dx = \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} dx.$$ 于是积分化为： $$\frac{1}{2} e^{2x} \arctan\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \arctan\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} dx.$$ 至此，第一步分部积分完成，得到的新积分 $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} dx$ 将在后续步骤中处理。

在第一步中，我们通过分部积分得到了以下表达式： $$ \int \frac{e^{2x}}{1+e^{x-1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \cdot e^x \, dx $$ 现在需要对这个被积函数进行化简。首先，合并分子中的指数项：$e^{2x} \cdot e^x = e^{3x}$，因此积分变为： $$ \int \frac{e^{3x}}{1+e^{x-1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \, dx $$ 接下来，处理分母中的 $1+e^{x-1}$。注意到 $e^{x-1} = \frac{e^x}{e}$，所以： $$ 1+e^{x-1} = 1 + \frac{e^x}{e} = \frac{e + e^x}{e} $$ 因此， $$ \frac{1}{1+e^{x-1}} = \frac{e}{e+e^x} $$ 代入积分式： $$ \int e^{3x} \cdot \frac{e}{e+e^x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \, dx = \frac{e}{2} \int \frac{e^{3x}}{(e+e^x)\sqrt{e^x-1}} \, dx $$ 现在，考虑换元简化。令 $t = e^x$，则 $dt = e^x dx$，且 $dx = \frac{dt}{t}$。同时 $e^{3x} = t^3$，$\sqrt{e^x-1} = \sqrt{t-1}$，$e+e^x = e+t$。代入得： $$ \frac{e}{2} \int \frac{t^3}{(e+t)\sqrt{t-1}} \cdot \frac{dt}{t} = \frac{e}{2} \int \frac{t^2}{(e+t)\sqrt{t-1}} \, dt $$ 至此，积分表达式化简为关于 $t$ 的积分： $$ \frac{e}{2} \int \frac{t^2}{(e+t)\sqrt{t-1}} \, dt $$ 这个形式比原式更简洁，便于后续步骤进一步处理。

为了简化积分，我们采用换元法。令 $t = \sqrt{e^x - 1}$，则 $t \geq 0$。由 $t^2 = e^x - 1$ 可得 $e^x = t^2 + 1$。两边对 $x$ 求导：$e^x dx = 2t \, dt$，因此 $dx = \frac{2t}{e^x} \, dt = \frac{2t}{t^2 + 1} \, dt$。原积分中的被积函数为 $\frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}}$，代入换元：$e^x = t^2 + 1$，$\sqrt{e^x - 1} = t$，$dx = \frac{2t}{t^2 + 1} \, dt$。于是积分变为： $$ \int \frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}} \, dx = \int \frac{t^2 + 1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} \, dt = \int 2 \, dt. $$ 这里 $t^2 + 1$ 与 $t$ 约分后，分子分母中的 $t$ 也相互抵消，最终被积函数简化为常数 $2$。因此积分转化为关于 $t$ 的简单积分：$\int 2 \, dt = 2t + C$。最后将 $t = \sqrt{e^x - 1}$ 代回，得到原积分为 $2\sqrt{e^x - 1} + C$。注意，换元过程中 $t$ 的定义域为 $t \geq 0$，与 $x$ 的定义域一致，无需额外处理。

首先，将上一步得到的有理函数进行部分分式分解。设被积函数为 $\frac{1}{(t-1)(t+1)^2}$，可分解为： $$ \frac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} $$ 两边乘以 $(t-1)(t+1)^2$ 得： $$ 1 = A(t+1)^2 + B(t-1)(t+1) + C(t-1) $$ 整理得： $$ 1 = A(t^2+2t+1) + B(t^2-1) + C(t-1) = (A+B)t^2 + (2A+C)t + (A - B - C) $$ 比较系数得方程组： $$ \begin{cases} A + B = 0 \\ 2A + C = 0 \\ A - B - C = 1 \end{cases} $$ 解得 $A = \frac{1}{4}$，$B = -\frac{1}{4}$，$C = -\frac{1}{2}$。因此： $$ \frac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \frac{1/4}{t-1} - \frac{1/4}{t+1} - \frac{1/2}{(t+1)^2} $$ 接下来对每一项分别积分： $$ \int \frac{1/4}{t-1} \, dt = \frac{1}{4} \ln|t-1| + C_1 $$ $$ \int -\frac{1/4}{t+1} \, dt = -\frac{1}{4} \ln|t+1| + C_2 $$ $$ \int -\frac{1/2}{(t+1)^2} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{t+1} = \frac{1}{2(t+1)} + C_3 $$ 合并常数项，得到积分结果为： $$ \frac{1}{4} \ln|t-1| - \frac{1}{4} \ln|t+1| + \frac{1}{2(t+1)} + C $$ 利用对数性质合并为： $$ \frac{1}{4} \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + \frac{1}{2(t+1)} + C $$

将上一步得到的关于$t$的不定积分结果中的$t$回代为原变量$x$。已知$t = \sqrt{e^x - 1}$，代入得： $$\int \sqrt{e^x - 1} \, dx = 2\sqrt{e^x - 1} - 2\arctan\left(\sqrt{e^x - 1}\right) + C.$$ 其中$C$为任意常数。 为了验证结果的正确性，可以对结果求导，看是否等于被积函数$\sqrt{e^x - 1}$。令$F(x) = 2\sqrt{e^x - 1} - 2\arctan\left(\sqrt{e^x - 1}\right)$，则 $$F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x - 1}} \cdot e^x - 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^x - 1)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x - 1}} \cdot e^x$$ $$= \frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}} - \frac{e^x}{e^x \cdot \sqrt{e^x - 1}} = \frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{e^x - 1}} = \frac{e^x - 1}{\sqrt{e^x - 1}} = \sqrt{e^x - 1}.$$ 验证正确。 因此，不定积分的结果为： $$\int \sqrt{e^x - 1} \, dx = 2\sqrt{e^x - 1} - 2\arctan\left(\sqrt{e^x - 1}\right) + C.$$