2019年考研数学二第16题

首先，对有理函数进行部分分式分解。被积函数的分母已经因式分解为 $(x-1)^2(x^2+x+1)$。其中 $(x-1)^2$ 是二次重因式，$x^2+x+1$ 是二次不可约因式（判别式 $\Delta = 1-4 = -3 < 0$）。根据部分分式分解的规则：对于分母中的每个一次因式 $(x-1)$ 的重数 $2$，需要设置两个分式，分别为 $\frac{A}{x-1}$ 和 $\frac{B}{(x-1)^2}$；对于分母中的二次不可约因式 $x^2+x+1$，需要设置一个分子为一次式的分式 $\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$。因此，分解形式设为： $$ \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1} $$ 其中 $A, B, C, D$ 为待定常数。这一设定是后续求解待定系数的基础。

将右边三个分式通分，公分母为 $(x-1)(x+1)(x+2)$。 第一项 $\frac{A}{x-1}$ 分子分母同乘 $(x+1)(x+2)$，得 $\frac{A(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$。 第二项 $\frac{B}{x+1}$ 分子分母同乘 $(x-1)(x+2)$，得 $\frac{B(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$。 第三项 $\frac{Cx+D}{(x+1)(x+2)}$ 分子分母同乘 $(x-1)$，得 $\frac{(Cx+D)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$。 因此，右边通分后为： $$ \frac{A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + (Cx+D)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)} $$ 左边为 $\frac{3x+6}{(x-1)(x+1)(x+2)}$。由于分母相同，分子必须相等，得到恒等式： $$ A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + (Cx+D)(x-1) = 3x+6 $$ 接下来展开并合并同类项。 先展开 $A(x+1)(x+2) = A(x^2 + 3x + 2) = A x^2 + 3A x + 2A$。 展开 $B(x-1)(x+2) = B(x^2 + x - 2) = B x^2 + B x - 2B$。 展开 $(Cx+D)(x-1) = Cx^2 - Cx + Dx - D = C x^2 + (D - C)x - D$。 将三个展开式相加，合并 $x^2$ 项系数：$A + B + C$；合并 $x$ 项系数：$3A + B + D - C$；常数项：$2A - 2B - D$。 于是得到恒等式： $$ (A+B+C)x^2 + (3A + B + D - C)x + (2A - 2B - D) = 3x + 6 $$ 注意右边没有 $x^2$ 项，故 $x^2$ 系数为0；$x$ 系数为3；常数项为6。由此建立方程组： $$ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + B + D - C = 3 \\ 2A - 2B - D = 6 \end{cases} $$ 此方程组将在后续步骤中求解。

已知前两步已得到恒等式： $$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd$$ 且原题中该乘积应等于 $x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x$。 将右边展开： $$x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 0$$ 比较两边对应次数的系数： 1. $x^4$ 系数：左边为 $1$，右边为 $1$，自动成立。 2. $x^3$ 系数：左边为 $a+c$，右边为 $-6$，得方程： $$a + c = -6$$ 3. $x^2$ 系数：左边为 $ac+b+d$，右边为 $11$，得方程： $$ac + b + d = 11$$ 4. $x$ 系数：左边为 $ad+bc$，右边为 $-6$，得方程： $$ad + bc = -6$$ 5. 常数项：左边为 $bd$，右边为 $0$，得方程： $$bd = 0$$ 因此得到关于 $a,b,c,d$ 的线性方程组（其中第一个方程 $a+c=-6$ 为线性，其余方程含乘积项，但在此步骤中我们仅列出比较系数所得的关系式）： \begin{cases} a + c = -6 \\ ac + b + d = 11 \\ ad + bc = -6 \\ bd = 0 \end{cases}

根据前一步骤建立的部分分式分解等式： $$\frac{2x^2 - 3x + 1}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} + D$$ 其中$D$为整式部分系数。将等式两边同乘以分母$(x-1)(x+2)(x-3)$，得到： $$2x^2 - 3x + 1 = A(x+2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+2) + D(x-1)(x+2)(x-3)$$ 首先，通过代入特殊值简化计算。令$x=1$，此时$(x-1)=0$，等式变为： $$2(1)^2 - 3(1) + 1 = A(1+2)(1-3) + 0 + 0 + 0$$ $$2 - 3 + 1 = A \cdot 3 \cdot (-2)$$ $$0 = -6A \quad \Rightarrow \quad A = 0$$ 令$x=-2$，此时$(x+2)=0$： $$2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 0 + B(-2-1)(-2-3) + 0 + 0$$ $$8 + 6 + 1 = B \cdot (-3) \cdot (-5)$$ $$15 = 15B \quad \Rightarrow \quad B = 1$$ 令$x=3$，此时$(x-3)=0$： $$2(3)^2 - 3(3) + 1 = 0 + 0 + C(3-1)(3+2) + 0$$ $$18 - 9 + 1 = C \cdot 2 \cdot 5$$ $$10 = 10C \quad \Rightarrow \quad C = 1$$ 现在求$D$。将$x=0$代入原等式（注意此时所有项均非零）： $$2(0)^2 - 3(0) + 1 = A(0+2)(0-3) + B(0-1)(0-3) + C(0-1)(0+2) + D(0-1)(0+2)(0-3)$$ $$1 = A \cdot 2 \cdot (-3) + B \cdot (-1) \cdot (-3) + C \cdot (-1) \cdot 2 + D \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-3)$$ 代入$A=0, B=1, C=1$： $$1 = 0 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + D \cdot 6$$ $$1 = 3 - 2 + 6D$$ $$1 = 1 + 6D \quad \Rightarrow \quad 6D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 0$$ 因此解得待定系数为$A=0, B=1, C=1, D=0$。注意：题目步骤目标给出的$A=-2, B=3, C=2, D=1$与本例不符，可能是题目数据不同所致，此处按实际推导结果给出。

经过前几步的部分分式分解，我们已经将有理函数分解为三个简单分式的和。具体分解结果为： $$\frac{2x^2 - x + 4}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = -\frac{2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2} + \frac{2x+1}{x^2+x+1}$$ 现在，我们直接写出分解后的积分式： $$\int \frac{2x^2 - x + 4}{(x-1)^2(x^2+x+1)} \, dx = \int \left( -\frac{2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2} + \frac{2x+1}{x^2+x+1} \right) dx$$ 根据积分的线性性质，可以将积分拆分为三个独立的积分： $$\int -\frac{2}{x-1} \, dx + \int \frac{3}{(x-1)^2} \, dx + \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx$$ 这样，原积分就化为了三个更简单的积分之和，后续步骤将分别计算这三个积分。

对前一步分解得到的三个分式分别进行积分。 第一项：$\int \frac{-2}{x-1} \, dx = -2 \int \frac{1}{x-1} \, dx = -2 \ln|x-1| + C_1$。 第二项：$\int \frac{3}{(x-1)^2} \, dx = 3 \int (x-1)^{-2} \, dx = 3 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{3}{x-1} + C_2$。 第三项：$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx$。注意到分子 $2x+1$ 恰好是分母 $x^2+x+1$ 的导数，因此直接积分得 $\ln(x^2+x+1) + C_3$。 将三项结果相加，并合并常数项 $C = C_1 + C_2 + C_3$，得到原不定积分的结果： $$\int \frac{2x^3+5x^2+2x+2}{(x-1)^2(x^2+x+1)} \, dx = -2\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + \ln(x^2+x+1) + C.$$

在前几步中，我们已经分别求出了三个积分的结果： 1. 第一项积分 $\int \frac{1}{x-1} \, dx = \ln|x-1| + C_1$。 2. 第二项积分 $\int \frac{1}{(x-1)^2} \, dx = -\frac{1}{x-1} + C_2$。 3. 第三项积分 $\int \frac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan x + C_3$。 现在将这三项结果相加，并合并任意常数。由于 $C_1, C_2, C_3$ 都是任意常数，它们的和仍为任意常数，记作 $C$。因此，原不定积分的最终结果为： $$ \int \frac{x^2+2}{(x-1)^2(x^2+1)} \, dx = \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + \arctan x + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。 **验证**：对结果求导，应等于被积函数 $\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x^2+1)}$。 - $\frac{d}{dx} \ln|x-1| = \frac{1}{x-1}$ - $\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{x-1}\right) = \frac{1}{(x-1)^2}$ - $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{x^2+1}$ 求和得： $$ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2+1} $$ 通分后分子为 $(x-1)(x^2+1) + (x^2+1) + (x-1)^2$，展开并化简： - $(x-1)(x^2+1) = x^3 - x^2 + x - 1$ - 加上 $(x^2+1)$ 得 $x^3 + x$ - 再加上 $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ 得 $x^3 + x^2 - x + 1$ 分母为 $(x-1)^2(x^2+1)$。分子 $x^3 + x^2 - x + 1$ 与 $x^2+2$ 并不相同？检查发现：原被积函数分子为 $x^2+2$，而我们的导数分子为 $x^3 + x^2 - x + 1$，显然不一致。这说明我们之前的部分分式分解或积分有误。 **重新检查**：正确的部分分式分解应为： $$ \frac{x^2+2}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1} $$ 通过待定系数法解得：$A=0, B=1, C=0, D=1$。即： $$ \frac{x^2+2}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2+1} $$ 因此正确的积分结果为： $$ \int \frac{x^2+2}{(x-1)^2(x^2+1)} \, dx = \int \frac{1}{(x-1)^2} \, dx + \int \frac{1}{x^2+1} \, dx = -\frac{1}{x-1} + \arctan x + C $$ 注意：这里没有 $\ln|x-1|$ 项，因为 $A=0$。 最终正确答案为： $$ \boxed{-\frac{1}{x-1} + \arctan x + C} $$