2007年考研数学一第5题
📝 题目
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是
A
若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必收敛。
B
若 $u_{1}\gt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必发散．
C
若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必收敛。
D
若 $u_{1}\lt u_{2}$ ，则 $\left\{u_{n}
\right\}$ 必发散．
💡 答案解析
**答案**: （D）．
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**解析**:
方法一 取 $f(x)=-\ln x, f^{\prime \prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}}\gt 0, u_{1}=f$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数凸性与导数单调性
已知函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上具有二阶导数，且满足$f''(x)>0$。根据二阶导数的几何意义，$f''(x)>0$表明函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上是严格凸函数（下凸）。凸函数的一个重要性质是：其一阶导数$f'(x)$在区间上单调递增。这是因为对于凸函数，切线斜率随自变量增大而增大，即导函数是单调增加的。我们可以从导数定义出发严格证明：对任意$x_10$且$x_2-x_1>0$，故$f'(x_2)>f'(x_1)$，因此$f'(x)$在$(0,+\infty)$上严格单调递增。这一性质在后续步骤中用于比较不同点处导数值的大小，是解题的关键基础。
公式：$$f''(x)>0 \Rightarrow f'(x)\text{在}(0,+\infty)\text{上严格单调递增}$$
提示：牢记：二阶导大于0推出一阶导单调递增，这是凸函数的本质特征。
步骤 3/5
目标：构造反例排除A和B
为了排除选项A和B，需要构造满足题目条件的反例。
首先，题目条件为：函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上具有二阶导数，且$f''(x)>0$（即$f(x)$是严格凸函数）。数列$u_n=f(n)$。
**排除选项A（$\{u_n\}$必收敛）**：
取$f(x)=-\ln x$，则$f'(x)=-\frac{1}{x}$，$f''(x)=\frac{1}{x^2}>0$，满足凸性条件。此时$u_n=-\ln n$。由于$\lim_{n\to\infty}(-\ln n)=-\infty$，数列发散到负无穷，故$\{u_n\}$不收敛。因此选项A错误。
**排除选项B（$\{u_n\}$必发散）**：
取$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$（当$x>0$时），满足凸性条件。此时$u_n=\frac{1}{n}$，显然$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，数列收敛。因此选项B错误。
综上，通过反例$f(x)=-\ln x$（发散）和$f(x)=\frac{1}{x}$（收敛）分别否定了A和B。注意，反例只需存在即可，不要求同一个函数同时否定两个选项。
公式：f(x) = -\ln x, \quad f''(x)=\frac{1}{x^2}>0; \quad f(x)=\frac{1}{x}, \quad f''(x)=\frac{2}{x^3}>0
提示：构造反例时优先考虑简单初等函数，如幂函数、对数函数。
步骤 4/5
目标：讨论u1
当 $u_1 < u_2$ 时，由递推关系 $u_{n+1} = f(u_n)$ 可知 $f(u_1) < f(u_2)$。由于函数 $f(x)$ 是凸函数（二阶导数 $f''(x) > 0$），且 $f'(x)$ 单调递增。由 $f(u_1) < f(u_2)$ 及 $f$ 的凸性，可以推出 $f'(x) > 0$ 在区间 $[u_1, u_2]$ 上成立（否则若存在 $c$ 使 $f'(c) \leq 0$，由凸性会导致 $f$ 在该区间上非严格递增，与 $f(u_1) < f(u_2)$ 矛盾）。因此 $f(x)$ 在 $[u_1, u_2]$ 上严格单调递增。
由 $u_2 = f(u_1) > u_1$，利用单调性可得 $u_3 = f(u_2) > f(u_1) = u_2$，依此类推，得到 $u_{n+1} > u_n$ 对所有 $n$ 成立，故数列 $\{u_n\}$ 严格单调递增。
对于单调递增数列，其极限要么是有限值（收敛），要么趋于正无穷（发散）。若数列有上界，则必收敛于某个有限值 $L$，且 $L$ 满足 $L = f(L)$（不动点方程）。若数列无上界，则 $u_n \to +\infty$。具体属于哪种情形取决于函数 $f(x)$ 的性质以及初始值 $u_1$ 的位置。
公式：$$u_{n+1} > u_n \quad (\forall n \in \mathbb{N})$$
提示：利用凸性推出导数正定性，再结合递推关系严格证明单调递增。
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