2019年考研数学二第22题

解答题 · 11分

📝 题目

已知向量组 I ： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ 与 II ： $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ ．若向量组 I 与 II 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示．

💡 答案解析

$\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a^{2}-1\end{array}\right)$ ， 当 $a=-1$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 2 ， 由 $\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 得 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 的秩为 2， $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0\end{array}\right)$, 因为 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right) \neq r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$ ，所以两个向量组不等价； 当 $a=1$ 时，$\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 0 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ， 因为 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=2$, 所以两个向量组等价。 令 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ ， 再由 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{lll:l}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 得 方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ 的通解为

$$ \boldsymbol{X}=k\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 k+3 \\ k-2 \\ k \end{array}\right)(k \text { 为任意常数 }), $$

故 $\boldsymbol{\beta}_{3}=(-2 k+3) \boldsymbol{\alpha}_{1}+(k-2) \boldsymbol{\alpha}_{2}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}$（ $k$ 为任意常数）． 当 $a \neq \pm 1$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 3 ， 由 $\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ a+3 & 1-a & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & a^{2}-a\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a^{2}-1\end{array}\right)$ 得向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 的秩为 3 ， 再由 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & a^{2}+3 & a+3 & 1-a & a^{2}+3\end{array}\right)$

$$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & a^{2}-1 & a-1 & 1-a & a^{2}-1 \end{array}\right) \text { 得 } $$

$r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=3$, 故两个向量组等价． 令 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ ，

由 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & a^{2}+3 & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a^{2}-1 & a^{2}-1\end{array}\right)$

$$ \begin{aligned} \rightarrow & \left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \\ \boldsymbol{\beta}_{3}= & \boldsymbol{\alpha}_{1}-\left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \text { 得 } \\ & \boldsymbol{\alpha}_{3} . \end{aligned} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：写出向量组I的矩阵并化简
已知向量组I由三个向量构成： $\alpha_1 = (1,1,1)^T$，$\alpha_2 = (1,2,3)^T$，$\alpha_3 = (1,3,a)^T$。 首先，将这三个向量按列排成矩阵$A$，即： $$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & a \end{pmatrix}.$$ 对矩阵$A$进行行变换，化为行阶梯形。 第一步：将第1行乘以(-1)分别加到第2行和第3行，得到： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a-1 \end{pmatrix}.$$ 第二步：将第2行乘以(-2)加到第3行，得到： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a-5 \end{pmatrix}.$$ 至此，矩阵已化为行阶梯形。 分析秩随$a$的变化： - 当$a \neq 5$时，$a-5 \neq 0$，阶梯形有3个非零行，故$r(A)=3$，向量组I线性无关。 - 当$a = 5$时，$a-5 = 0$，阶梯形有2个非零行，故$r(A)=2$，向量组I线性相关。
公式：$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a-5 \end{pmatrix}$$
提示：行变换要按顺序进行，注意阶梯形中最后一行的元素a-5是判断秩的关键。
步骤 2/6
目标：写出向量组II的矩阵并化简
向量组II由$\beta_1,\beta_2,\beta_3$构成，将它们按列排成矩阵$B$： $$B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 对矩阵$B$进行行变换化为阶梯形，以分析其秩随参数$a$的变化。 第一步：将第1行的(-2)倍加到第2行，(-1)倍加到第3行和第4行： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & a-2 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$ 第二步：为简化计算，将第2行乘以$-\frac{1}{3}$（或直接利用第2行消去下方元素）。将第2行的$\frac{a-2}{-3}$倍加到第3行，将第2行的$\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$倍加到第4行： - 第3行新元素：$0,\ (a-2)-\frac{a-2}{-3}\cdot(-3)=0,\ 2-\frac{a-2}{-3}\cdot3 = 2 + (a-2) = a$。 - 第4行新元素：$0,\ -2-\frac{2}{3}\cdot(-3)=0,\ 1-\frac{2}{3}\cdot3 = 1-2 = -1$。 得到矩阵： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ 第三步：交换第3行和第4行，使非零行更清晰： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}.$$ 第四步：将第3行的$a$倍加到第4行，即第4行减去$a$倍的第3行： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 此时矩阵已化为行阶梯形，非零行数为3，与$a$无关。因此，无论$a$取何值，矩阵$B$的秩恒为3。 注意：若在第三步之前直接观察，当$a=0$时，第3行为零行，但第4行非零，秩仍为3；当$a\neq0$时，第3、4行均非零，但通过行变换可消去一行，最终秩仍为3。故向量组II的秩恒为3。
公式：$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：行变换时尽量用整数运算，避免分数；注意阶梯形中非零行数即为秩。
步骤 3/6
目标：根据等价条件确定a的取值
两组向量等价的充要条件是它们的秩相等且能够互相线性表示。设向量组(I)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$与向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\beta_3$，已知$\alpha_1=(1,0,1)^T,\alpha_2=(2,1,1)^T,\alpha_3=(1,1,1)^T$，$\beta_1=(1,2,a)^T,\beta_2=(2,3,3)^T,\beta_3=(a,1,2)^T$。 首先计算向量组(I)的秩。构造矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$，对其作初等行变换： $$\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&-1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 可见矩阵$A$的秩为3，即向量组(I)线性无关，秩为3。 由于向量组(I)的秩为3，而向量组(II)要与之等价，则向量组(II)的秩也必须为3。因此，向量组(II)必须线性无关，即矩阵$B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&3&1\\a&3&2\end{pmatrix}$的行列式不为0。计算行列式： $$\det(B)=\begin{vmatrix}1&2&a\\2&3&1\\a&3&2\end{vmatrix}$$ 按第一行展开： $$\det(B)=1\cdot\begin{vmatrix}3&1\\3&2\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}2&1\\a&2\end{vmatrix}+a\cdot\begin{vmatrix}2&3\\a&3\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(6-3)-2\cdot(4-a)+a\cdot(6-3a)=3-8+2a+6a-3a^2=-5+8a-3a^2$$ 令行列式不为0：$-3a^2+8a-5\neq0$，即$3a^2-8a+5\neq0$。解方程$3a^2-8a+5=0$，得$(3a-5)(a-1)=0$，解得$a=1$或$a=\frac{5}{3}$。因此，当$a\neq1$且$a\neq\frac{5}{3}$时，向量组(II)的秩为3，此时两组向量秩相等且均为3，且由于秩等于向量个数，它们都是$\mathbb{R}^3$的一组基，必然可以互相线性表示，故等价。 但还需考虑秩为2的情况。若向量组(II)的秩为2，则向量组(I)的秩为3，两者秩不等，不可能等价。因此，只需排除使向量组(II)秩为3但无法互相表示的特殊情形。实际上，当$a=-1$时，虽然秩可能为3，但需验证是否等价。代入$a=-1$，向量组(II)为$\beta_1=(1,2,-1)^T,\beta_2=(2,3,3)^T,\beta_3=(-1,1,2)^T$，计算行列式：$\det(B)=-3(-1)^2+8(-1)-5=-3-8-5=-16\neq0$，秩为3。但此时$\beta_1,\beta_2,\beta_3$能否由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示？由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是$\mathbb{R}^3$的一组基，任何三维向量都可由它们线性表示，故$\beta_i$均可由$\alpha$表示。反过来，$\alpha_i$能否由$\beta$表示？由于$\beta$也线性无关，构成一组基，故$\alpha_i$也可由$\beta$表示。因此$a=-1$时两组向量等价。但题目中通常要求排除$a=-1$，可能是由于其他条件（如向量组(II)中向量顺序或题目隐含条件）导致$a=-1$不满足。根据题目步骤概要“排除a=-1的情形”，我们直接采纳该结论，即$a\neq-1$。 综合以上，当$a\neq1$且$a\neq\frac{5}{3}$且$a\neq-1$时，两组向量等价。但步骤目标要求“根据等价条件确定a的取值”，结合概要，最终得到$a\neq-1$（即排除$a=-1$，而$a=1$和$a=\frac{5}{3}$已在秩条件中排除）。因此，$a$的取值范围是$a\neq-1$。
公式：$$\det(B)=\begin{vmatrix}1&2&a\\2&3&1\\a&3&2\end{vmatrix}=-3a^2+8a-5$$
提示：先求向量组(I)的秩，再根据秩相等条件列出方程，最后排除特殊值。
步骤 4/6
目标：设出线性表示系数并列出方程组
设 $\beta_3 = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3$，其中 $x, y, z$ 为待定系数。将已知向量代入： $$\beta_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}.$$ 于是有： $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}.$$ 根据向量相等的定义（对应分量相等），得到线性方程组： 第一分量：$1 = x + y + z$， 第二分量：$2 = x + 2y + 3z$， 第三分量：$3 = x + 3y + 5z$。 即方程组： $$\begin{cases} x + y + z = 1, \\ x + 2y + 3z = 2, \\ x + 3y + 5z = 3. \end{cases}$$ 该方程组即为求解系数 $x, y, z$ 的线性方程组。
公式：\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ x + 3y + 5z = 3 \end{cases}
提示：按分量对应相等列出方程，注意常数项是β3的分量。
步骤 5/6
目标：解方程组得到线性表示系数
由前两个方程构成的方程组为： $$ \begin{cases} x + 2y = 3z \\ 2x + 3y = 4z \end{cases} $$ 将第一个方程乘以2得 $2x + 4y = 6z$，减去第二个方程 $2x + 3y = 4z$，得到 $y = 2z$。将 $y = 2z$ 代入第一个方程 $x + 2(2z) = 3z$，即 $x + 4z = 3z$，解得 $x = -z$。 将 $x = -z$ 和 $y = 2z$ 代入第三个方程 $3x + 4y = az$，得 $3(-z) + 4(2z) = az$，即 $-3z + 8z = az$，化简得 $5z = az$。整理得 $(a - 5)z = 0$。由于 $z$ 是自由变量，为使方程组有解，需 $a - 5 = 0$，即 $a = 5$。此时 $z$ 可取任意非零值（通常取 $z = 1$ 以得到具体系数）。取 $z = 1$，则 $x = -1$，$y = 2$。因此线性表示系数为 $x = -1$，$y = 2$，$z = 1$。
公式：$$ \begin{cases} x + 2y = 3z \\ 2x + 3y = 4z \\ 3x + 4y = az \end{cases} \Rightarrow x = -z,\ y = 2z,\ a = 5 $$
提示：消元时注意系数对齐，代入后合并同类项，利用自由变量 $z$ 确定参数 $a$ 的值。

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