2019年考研数学二第3题
📝 题目
下列反常积分发散的是（ ）
A
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
B
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
C
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \displaystyle \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
D
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**: （D）
---
**解析**:
方法一
由 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\Gamma(2)=1$ 得 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛； 由 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=-\left.\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}\right|_{0} ^{+\infty}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 得 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛； 由 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{1}{2}(\arctan x)^{2}\right|_{0} ^{+\infty}=\displaystyle\frac{\pi^{2}}{8}$ 得 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛， 故 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 发散，应选（D）。
## 方法二
由 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot \displaystyle\frac{x}{1+x^{2}}=1$ 且 $\alpha=1 \leqslant 1$ 得广义积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 发散，应选（D）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断选项A的收敛性
首先分析选项A：$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx$。该积分是无穷限反常积分，需要判断其收敛性。
方法一：利用Gamma函数。回忆Gamma函数的定义：$\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx$，当$s>0$时收敛。对于本题，被积函数为$x e^{-x}$，可写成$x^{2-1} e^{-x}$，因此$s=2>0$，故积分收敛，且$\Gamma(2)=1! =1$，所以积分值为1。
方法二：直接使用分部积分法。令$u=x$，$dv=e^{-x}dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-x}$。于是
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -x e^{-x} \bigg|_{0}^{b} + \int_{0}^{b} e^{-x} dx \right] = \lim_{b \to +\infty} \left( -b e^{-b} + 0 \cdot e^{0} - e^{-x} \bigg|_{0}^{b} \right).
$$
计算极限：$\lim_{b \to +\infty} b e^{-b} = 0$（指数衰减快于多项式增长），而$\lim_{b \to +\infty} e^{-b} = 0$，因此
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = 0 - 0 - (0 - 1) = 1.
$$
由于积分结果是一个有限常数1，因此该反常积分收敛。故选项A的积分收敛，值为1。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = \Gamma(2) = 1$$
提示：记住Gamma函数$\Gamma(n+1)=n!$，可快速计算此类积分。
步骤 2/5
目标：判断选项B的收敛性
选项B为反常积分 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx$。首先判断其收敛性。该积分是无穷限反常积分，被积函数 $f(x)=x e^{-x^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且非负。考虑直接计算积分值：令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。当 $x=0$ 时 $u=0$；当 $x \to +\infty$ 时 $u \to +\infty$。于是积分化为：
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \, du.
$$
而 $\int_{0}^{+\infty} e^{-u} \, du = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-u} \, du = \lim_{b \to +\infty} \left( -e^{-u} \Big|_{0}^{b} \right) = \lim_{b \to +\infty} (1 - e^{-b}) = 1$。因此原积分值为 $\frac{1}{2}$，是一个有限常数，故该反常积分收敛。所以选项B是收敛的。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2}$$
提示：遇到形如 $x e^{-x^2}$ 的积分，优先考虑换元 $u=x^2$，可快速化为标准指数积分。
步骤 3/5
目标：判断选项C的收敛性
选项C为广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx$。判断其收敛性，需计算该积分值。
首先，注意到被积函数在 $[0, +\infty)$ 上连续且非负，因此只需计算其值即可判断收敛性。采用换元法，令 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$。当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x \to +\infty$ 时，$u \to \frac{\pi}{2}$。于是积分化为：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} u \, du.
$$
计算该定积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} u \, du = \left. \frac{1}{2} u^2 \right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 - 0 = \frac{\pi^2}{8}.
$$
由于积分值为有限实数 $\frac{\pi^2}{8}$，因此该广义积分收敛。故选项C正确。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} u \, du = \frac{\pi^2}{8}$$
提示：遇到 $\arctan x$ 与 $\frac{1}{1+x^2}$ 同时出现时，优先考虑换元 $u=\arctan x$。
步骤 4/5
目标：判断选项D的收敛性
选项D对应的被积函数为$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，积分区间为$[0,+\infty)$。首先考虑直接计算不定积分：$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$。因此广义积分为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2}dx = \lim_{b\to +\infty}\left[\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_{0}^{b} = \frac{1}{2}\lim_{b\to +\infty}\ln(1+b^2) - \frac{1}{2}\ln1 = +\infty$$
由于极限不存在且趋于无穷，故该广义积分发散。
也可使用比较判别法：当$x\to +\infty$时，$\frac{x}{1+x^2} \sim \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$，而$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$发散（$p=1$的$p$积分），由极限形式的比较判别法知原积分发散。
因此选项D对应的广义积分发散，选项D不正确。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\lim_{b\to +\infty}\ln(1+b^2) = +\infty$$
提示：当被积函数在无穷远处与$1/x$同阶时，积分必发散。
步骤 5/5
目标：确定最终答案
综合前四步的分析，我们分别判断了四个选项所对应级数的敛散性：
- 选项A：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\frac{3}{2}}}$，由于 $\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 单调递减趋于0，且 $p=\frac{3}{2}>1$，故该交错级数绝对收敛，从而收敛。
- 选项B：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\frac{2}{3}}}$，$\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}}$ 单调递减趋于0，满足莱布尼茨判别法，故条件收敛。
- 选项C：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}$，通项 $\frac{1}{n+\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知该级数收敛。
- 选项D：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$，其通项不满足单调递减性，且通过分析部分和或比较判别法可知，该级数发散。
因此，只有选项D对应的级数发散。题目要求选出发散的级数，故正确答案为选项D。
最终答案验证：对于选项D，考虑其通项 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$，当 $n$ 为偶数时，$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}+1}$；当 $n$ 为奇数时，$a_n = -\frac{1}{\sqrt{n}-1}$。将相邻两项合并，可发现其部分和趋于无穷，从而级数发散。其他三个选项均收敛，因此（D）正确。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} \text{ 发散}
提示：判断交错级数敛散性时，务必先验证通项是否单调递减趋于0。
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