2020年考研数学二第13题

给定二阶常系数齐次线性微分方程 $y''+2y'+y=0$。对于形如 $y''+py'+qy=0$ 的方程，其特征方程为 $\lambda^2+p\lambda+q=0$。此处 $p=2$，$q=1$，因此特征方程为： $$\lambda^2+2\lambda+1=0$$ 这是一个完全平方式，可因式分解为 $(\lambda+1)^2=0$，解得特征根为 $\lambda=-1$（二重根）。 由于特征根为重根，根据常系数齐次线性微分方程解的结构，通解形式为 $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$，其中 $\lambda=-1$。因此原微分方程的通解可写为 $y=(C_1+C_2x)e^{-x}$。 本步骤仅完成特征方程的建立与求解，后续步骤将利用初始条件确定任意常数 $C_1$ 和 $C_2$。

根据上一步得到的特征方程 $r^2 + 2r + 1 = 0$，求解该方程。这是一个完全平方式，可以写为 $(r+1)^2 = 0$，因此特征根为 $r_1 = r_2 = -1$，即二重实根。 对于二阶常系数齐次线性微分方程，当特征方程有重根 $r$（二重根）时，通解的形式为： $$ y = (C_1 + C_2 x) e^{rx} $$ 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。 将 $r = -1$ 代入，得到原微分方程的通解为： $$ y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} $$ 这里 $e^{-x}$ 对应第一个线性无关的解，$x e^{-x}$ 对应第二个线性无关的解（由重根情况下的特解构造方法得到）。该通解包含了两个任意常数，符合二阶微分方程通解的结构要求。

已知微分方程的通解为 $y = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定常数。题目给出的初始条件为 $y(0) = 0$ 和 $y'(0) = 1$。 首先代入 $y(0)=0$：将 $x=0$ 代入通解表达式，得 $$y(0) = c_1 e^{0} + c_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = c_1 = 0,$$ 因此 $c_1 = 0$。此时通解简化为 $y = c_2 x e^{-x}$。 接下来利用第二个初始条件 $y'(0)=1$。先对 $y$ 求导： $$y' = c_2 \cdot e^{-x} + c_2 x \cdot (-e^{-x}) = c_2 e^{-x} - c_2 x e^{-x}.$$ 代入 $x=0$，得 $$y'(0) = c_2 e^{0} - c_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = c_2 = 1,$$ 故 $c_2 = 1$。 将 $c_1=0$ 和 $c_2=1$ 代回通解，得到满足初始条件的特解为 $$y = x e^{-x}.$$

计算反常积分 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} \, dx$。首先，这是一个无穷限反常积分，需要先计算有限区间上的定积分再取极限。 令 $I(b) = \int_{0}^{b} x e^{-x} \, dx$，则原积分 $I = \lim\limits_{b \to +\infty} I(b)$。 使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-x}$。 由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得： $$ \int_{0}^{b} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{b} - \int_{0}^{b} (-e^{-x}) \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{b} + \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx. $$ 计算各项： $$ \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{b} = -b e^{-b} - (0 \cdot e^{0}) = -b e^{-b}, $$ $$ \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{b} = -e^{-b} - (-1) = 1 - e^{-b}. $$ 因此， $$ I(b) = -b e^{-b} + 1 - e^{-b} = 1 - (b+1)e^{-b}. $$ 取极限 $b \to +\infty$： $$ I = \lim_{b \to +\infty} \left[ 1 - (b+1)e^{-b} \right] = 1 - \lim_{b \to +\infty} \frac{b+1}{e^{b}}. $$ 由洛必达法则或指数函数增长速度快于多项式，$\lim\limits_{b \to +\infty} \frac{b+1}{e^{b}} = 0$，故 $I = 1$。 **验证**：该积分结果为正数，且被积函数 $x e^{-x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负，积分值为1合理。也可通过概率论中指数分布的期望值验证（参数为1的指数分布期望为1）。 因此，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} \, dx = 1$。