💡 答案解析
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**解析**:
$\because \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1$ ，并且 $f(x)$ 连续，可得 $f(0)=0$ ．
$g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x t) d t \underline{\underline{x t}=u} \displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{x} f(u) d u$ ，
当 $x=0$ 时，$g(0)=0$ ．
故 $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}0 & x=0 \\ \displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{x} f(u) d u & x \neq 0\end{array}\right.$ ，
又 $g^{\prime}(0)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{x} f(u) d u-0}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} f(u) d u}{x^{2}} \xlongequal{\text { 洛 }} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{2 x} \xlongequal{\text { 导数定义 }} \displaystyle\frac{1}{2}$
得 $g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{1}{2} & x=0 \\ \displaystyle\frac{f(x)}{x}-\displaystyle\frac{1}{x^{2}} \displaystyle\int_{0}^{x} f(u) d u & x \neq 0\end{array}\right.$ ，
又因为
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} f(u) d u\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} f(u) d u=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=g^{\prime}(0)
$$
所以 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
📋 详细解题步骤
目标：由极限条件推出f(0)的值
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且满足极限条件 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$。
由于分母 $x$ 在 $x\to 0$ 时趋于 $0$，而极限存在且为有限值 $1$，因此分子 $f(x)$ 也必须趋于 $0$，否则极限将不存在或为无穷大。具体地，若 $\lim_{x\to 0}f(x)\neq 0$，则 $\frac{f(x)}{x}$ 的绝对值将趋于无穷大，与极限为 $1$ 矛盾。故必有 $\lim_{x\to 0}f(x)=0$。
又因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，由连续的定义可知 $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$。因此 $f(0)=0$。
这一结论是后续步骤的基础，它表明 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点，且 $f(x)$ 在 $0$ 附近的行为类似于 $x$（因为 $\frac{f(x)}{x}\to 1$）。
公式：$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad f(0)=0$$
提示：分母趋于0时，分子必须也趋于0，否则极限不存在或为无穷大。
目标：化简g(x)的表达式
已知 $g(x)=\int_0^1 f(xt)dt$，其中 $f$ 为连续函数。为了化简 $g(x)$，我们采用变量代换法。令 $u = xt$，则当 $t$ 从 $0$ 变化到 $1$ 时，$u$ 从 $0$ 变化到 $x$。注意 $t = \frac{u}{x}$，从而 $dt = \frac{1}{x} du$。代入原积分得：
$$g(x) = \int_{u=0}^{u=x} f(u) \cdot \frac{1}{x} du = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) du \quad (x \neq 0).$$
当 $x=0$ 时，原积分 $g(0)=\int_0^1 f(0) dt = f(0)$，但由上述表达式，当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}\int_0^x f(u) du \to f(0)$，因此为使 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续，补充定义 $g(0)=0$（注意：此处根据题目后续步骤需要，实际上应定义 $g(0)=f(0)$ 才与极限一致，但题目步骤概要中明确要求补充定义 $g(0)=0$，故按题目要求执行）。这样，我们就得到了 $g(x)$ 的简化表达式：
$$g(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}.$$
公式：g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du \quad (x\neq 0),\quad g(0)=0
提示：换元时注意积分限的对应变换，并单独处理分母为零的情况。
目标：用导数定义求g'(0)
由导数定义，函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的导数为
$$
g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}.
$$
已知 $g(x)=\int_0^x f(u)du$，且 $g(0)=\int_0^0 f(u)du=0$，代入得
$$
g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(u)du}{x}.
$$
注意分子是积分上限函数，当 $x\to 0$ 时分子也趋于 $0$，分母也趋于 $0$，形成 $\frac{0}{0}$ 型未定式。因此可应用洛必达法则，对分子分母分别求导。分子 $\int_0^x f(u)du$ 的导数为 $f(x)$（由微积分基本定理），分母 $x$ 的导数为 $1$，于是
$$
g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1}=f(0).
$$
但题目中已知 $f(0)=0$，这样直接得到 $g'(0)=0$？注意：这里出现了问题，因为原题步骤概要中给出的极限是 $\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(u)du}{x^2}$，而不是除以 $x$。实际上，我们需要重新审视 $g(x)$ 的定义。题目中 $g(x)$ 可能定义为 $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$（当 $x\neq 0$）且 $g(0)=0$？但根据步骤概要，$g(x)-g(0)$ 的分子是 $\int_0^x f(u)du$，分母是 $x$，但概要中却出现了 $x^2$，说明 $g(x)$ 的定义可能为 $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$ 且 $g(0)=0$？让我们仔细核对：若 $g(x)=\int_0^x f(u)du$，则 $g(0)=0$，导数定义给出 $\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(u)du}{x}=f(0)=0$，这与概要中的 $\frac12$ 不符。因此，正确的理解是：题目中 $g(x)$ 定义为 $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$（$x\neq 0$），且补充定义 $g(0)=0$。那么 $g(0)=0$，$g(x)-g(0)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$，于是
$$
g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(u)du}{x^2}.
$$
这正是步骤概要中的形式。现在应用洛必达法则（$\frac{0}{0}$ 型）：分子求导得 $f(x)$，分母求导得 $2x$，所以
$$
g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x}.
$$
由已知极限 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，可得 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac12$。因此
$$
g'(0)=\frac12.
$$
公式：g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(u)du}{x^2}=\frac12
提示：注意 $g(x)$ 的定义形式，正确写出导数定义中的分母，再使用洛必达法则。
目标：求x≠0时g'(x)的表达式
已知当 $x \neq 0$ 时，$g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du$。我们需要对 $g(x)$ 求导。注意到 $g(x)$ 是商的形式，分子为积分上限函数 $\int_0^x f(u) \, du$，分母为 $x$。因此，使用商的求导法则：若 $h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，则 $h'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$。
令 $u(x) = \int_0^x f(u) \, du$，$v(x) = x$。则 $u'(x) = f(x)$（由微积分基本定理，积分上限函数的导数等于被积函数在上限处的值），$v'(x) = 1$。代入商的求导公式得：
$$
g'(x) = \frac{f(x) \cdot x - \left( \int_0^x f(u) \, du \right) \cdot 1}{x^2} = \frac{x f(x) - \int_0^x f(u) \, du}{x^2}.
$$
将分子拆分为两项，可写成：
$$
g'(x) = \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2} \int_0^x f(u) \, du.
$$
这就是 $x \neq 0$ 时 $g'(x)$ 的表达式。注意，该表达式在 $x=0$ 处无定义，需要单独处理（后续步骤可能涉及 $x=0$ 处的导数）。
公式：g'(x) = \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2} \int_0^x f(u) \, du
提示：牢记积分上限函数求导公式：$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$。
目标：证明g'(x)在x=0处连续
要证明 $g'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，即需验证 $\lim_{x\to 0} g'(x) = g'(0)$。
由前几步已知：
- 当 $x \neq 0$ 时，$g'(x) = \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x f(u)\,du$。
- $g'(0) = \frac{1}{2}$。
计算极限：
$$
\lim_{x\to 0} g'(x) = \lim_{x\to 0} \left[ \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x f(u)\,du \right].
$$
由于 $f(0)=0$ 且 $f'(0)=1$，利用 $f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x) = x + o(x)$，故 $\frac{f(x)}{x} \to 1$。
对于第二项，由积分中值定理或洛必达法则：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x f(u)\,du = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.
$$
因此，
$$
\lim_{x\to 0} g'(x) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = g'(0).
$$
故 $g'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$$\lim_{x\to 0} g'(x) = \lim_{x\to 0}\left[\frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x f(u)\,du\right] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = g'(0)$$
提示：利用已知导数条件将 $f(x)$ 展开为 $x+o(x)$，可简化极限计算。