2007年考研数学一第7题

本题为2007年数学一第7题，题目给出条件：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。需要判断四个选项中哪一个向量组是线性相关的。 首先回顾线性相关与线性无关的定义：对于向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$，如果存在一组不全为零的常数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 使得 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_m\beta_m = 0$，则称该向量组线性相关；否则线性无关。 已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，意味着对于任意不全为零的系数 $c_1, c_2, c_3$，有 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 \neq 0$。 题目四个选项分别给出由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性组合构成的新向量组，我们需要逐一判断这些新向量组是否线性相关。 常见的判断方法有两种： 1. 定义法：设出线性组合等于零，利用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性无关性导出系数必须全为零，从而证明线性无关；或者找到一组非零系数使线性组合为零，从而证明线性相关。 2. 矩阵法：将新向量组写成矩阵形式，其线性相关性等价于系数矩阵的秩是否小于向量个数。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，它们可视为三维空间的一组基，新向量组的坐标向量构成的矩阵的秩即为新向量组的秩。 本题中，四个选项的向量组均包含三个向量，因此线性相关当且仅当这三个向量构成的矩阵的秩小于3。 我们将依次分析每个选项，找出线性相关的那一组。

选项(A)给出的向量组为 $\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_1$。判断该向量组是否线性相关，即是否存在一组不全为零的系数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $$k_1(\alpha_1-\alpha_2)+k_2(\alpha_2-\alpha_3)+k_3(\alpha_3-\alpha_1)=0.$$ 将上式左边展开并合并同类项： $$k_1\alpha_1 - k_1\alpha_2 + k_2\alpha_2 - k_2\alpha_3 + k_3\alpha_3 - k_3\alpha_1 = (k_1 - k_3)\alpha_1 + (-k_1 + k_2)\alpha_2 + (-k_2 + k_3)\alpha_3.$$ 要使该式为零，且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关（题目未明确说明，但通常默认它们是线性无关的基向量，否则无法讨论），则系数必须全为零： $$\begin{cases} k_1 - k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ -k_2 + k_3 = 0 \end{cases}$$ 解得 $k_1 = k_2 = k_3$。此时若取 $k_1=k_2=k_3=1$，则系数不全为零，且代入原式得 $$(\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=0.$$ 因此存在一组不全为零的系数（例如 $1,1,1$）使得线性组合为零，故向量组线性相关。选项(A)正确。

对于选项(B)、(C)、(D)，我们分别构造线性组合并判断是否存在非零系数使得组合为零向量。 **选项(B)：** 向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是来自不同特征值的特征向量，且已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（属于不同特征值），$\alpha_3$ 与它们也不属于同一特征值，因此三个向量线性无关。事实上，若存在非零组合为零，则 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，但不同特征值的特征向量线性无关，故只有零解。 **选项(C)：** 向量组为 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$。类似地，这三个向量分别属于特征值 $\lambda_1, \lambda_3, \lambda_5$，且 $\lambda_1, \lambda_3, \lambda_5$ 互不相同。不同特征值对应的特征向量必线性无关，因此该向量组线性无关。 **选项(D)：** 向量组为 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$（与(C)相同，注意题中(D)实际为 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$，但原题选项可能有误，此处按常见题目理解）。同样，由于特征值互异，向量组线性无关。 综上，只有选项(A)中的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 可能线性相关（因为 $\alpha_4$ 与 $\alpha_1$ 属于同一特征值 $\lambda_1$，且 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1$ 线性表示），而(B)(C)(D)均线性无关。因此选择题中已确定(A)正确。

根据线性相关的定义，若存在不全为零的常数$k_1,k_2,\dots,k_m$使得$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{0}$，则向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$线性相关。 在选项(A)中，已知$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，且$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示。由线性相关性，存在不全为零的$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$使得$\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2+\lambda_3\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{0}$。此时，取$\lambda_4=0$，则$\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2+\lambda_3\boldsymbol{\alpha}_3+0\cdot\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$，且$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$不全为零，因此$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关。故选项(A)正确。 验证其他选项： - 选项(B)：若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关，则其部分组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$必线性无关，与已知矛盾，故(B)错误。 - 选项(C)：若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关，且$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$可能线性相关也可能线性无关（例如$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，$\boldsymbol{\alpha}_4$与它们线性相关但无法表示，这种情况不存在，因为若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，则任何与它们线性相关的向量必可由它们线性表示，故矛盾；但若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，则结论成立，但(C)说“一定线性相关”，而实际上存在反例：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关时，$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由它们表示且整体线性相关是不可能的，故(C)不一定成立），因此(C)错误。 - 选项(D)：若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，则$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由它们线性表示时，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关，与已知矛盾，故(D)错误。 综上，只有选项(A)符合题意，因此正确答案为(A)。