2020年考研数学二第1题

首先，题目要求判断当$x\to 0^+$时，下列哪个选项是$x$的$3$阶无穷小。选项(A)为$\int_0^x (e^{t^2}-1)\,dt$。我们需要分析该积分的无穷小阶数。 当$x\to 0^+$时，被积函数中的$t$也在$0$附近。利用等价无穷小替换：当$u\to 0$时，$e^u-1\sim u$。这里$u=t^2$，所以当$t\to 0$时，$e^{t^2}-1\sim t^2$。因此，被积函数$e^{t^2}-1$与$t^2$是等价无穷小。 于是，积分$\int_0^x (e^{t^2}-1)\,dt$与$\int_0^x t^2\,dt$是等价无穷小（因为积分限趋于$0$，且被积函数等价，积分后仍保持等价关系）。计算$\int_0^x t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{x^3}{3}$。 因此，当$x\to 0^+$时，$\int_0^x (e^{t^2}-1)\,dt \sim \frac{x^3}{3}$，即它是$x$的$3$阶无穷小（因为$x^3$的阶数为$3$）。所以选项(A)满足题目要求。

分析选项(B)：$\int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \, dt$ 当 $x \to 0^{+}$ 时的无穷小阶数。 首先，考虑被积函数 $\ln(1+\sqrt{t^{3}})$ 在 $t \to 0^{+}$ 时的等价无穷小。由于 $\ln(1+u) \sim u$（当 $u \to 0$），而 $\sqrt{t^{3}} = t^{3/2} \to 0$，因此 $$ \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \sim \sqrt{t^{3}} = t^{3/2}, \quad t \to 0^{+}. $$ 于是，积分 $\int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \, dt$ 与 $\int_{0}^{x} t^{3/2} \, dt$ 为同阶无穷小（当 $x \to 0^{+}$）。计算该积分： $$ \int_{0}^{x} t^{3/2} \, dt = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_{0}^{x} = \frac{2}{5} x^{5/2}. $$ 因此，当 $x \to 0^{+}$ 时， $$ \int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \, dt \sim \frac{2}{5} x^{5/2}, $$ 即该积分为 $x^{5/2}$ 阶无穷小。 注意：$x^{5/2}$ 的阶数高于 $x^{2}$（因为 $5/2 > 2$），但低于 $x^{3}$（因为 $5/2 < 3$）。因此选项(B)是 $\frac{5}{2}$ 阶无穷小。

选项(C)为 $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt$，当 $x \to 0^+$ 时，需要判断其无穷小阶数。 首先，当 $x \to 0^+$ 时，积分上限 $\sin x \sim x$，因此积分上限是 $x$ 的一阶无穷小。 其次，考虑被积函数 $\sin t^2$。当 $t \to 0$ 时，$\sin t^2 \sim t^2$，即被积函数是 $t$ 的二阶无穷小。 因此，当 $x \to 0^+$ 时，积分 $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt$ 的阶数可以通过将积分上限和被积函数同时替换为等价无穷小来估计： $$ \int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt \sim \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}. $$ 更严格地，利用积分中值定理或直接比较，可以证明该积分与 $x^3$ 是同阶无穷小。具体地，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < t < \delta$ 时，有 $(1-\varepsilon)t^2 < \sin t^2 < (1+\varepsilon)t^2$，从而当 $x$ 充分小时， $$ (1-\varepsilon)\int_0^x t^2 \, dt < \int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt < (1+\varepsilon)\int_0^x t^2 \, dt, $$ 即 $\frac{1-\varepsilon}{3}x^3 < \int_0^{\sin x} \sin t^2 \, dt < \frac{1+\varepsilon}{3}x^3$，故该积分是 $x$ 的三阶无穷小。 因此，选项(C)的无穷小阶数为3阶。

分析选项(D)：$\int_{0}^{1-\cos x} \sqrt{\sin^3 t} \, dt$。当$x \to 0^+$时，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，因此积分上限为$\frac{x^2}{2}$量级。被积函数$\sqrt{\sin^3 t} = (\sin t)^{3/2}$，当$t \to 0^+$时，$\sin t \sim t$，故$\sqrt{\sin^3 t} \sim t^{3/2}$。于是，当$x \to 0^+$时，原积分等价于$\int_{0}^{\frac{x^2}{2}} t^{3/2} \, dt$。计算该积分：$\int_{0}^{\frac{x^2}{2}} t^{3/2} \, dt = \left. \frac{2}{5} t^{5/2} \right|_{0}^{\frac{x^2}{2}} = \frac{2}{5} \left(\frac{x^2}{2}\right)^{5/2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^5}{2^{5/2}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^5}{\sqrt{32}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^5}{4\sqrt{2}} = \frac{x^5}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{20} x^5$。因此，该无穷小与$x^5$同阶，即阶数为5。

本步骤需要比较四个选项的无穷小阶数，并选出阶数最高的选项。首先，回顾前几步已求得的各选项关于$x \to 0$时的阶数： - 选项(A)：$\int_0^{x^2} \sin(t^2) \, dt$，通过等价无穷小代换，当$t \to 0$时$\sin(t^2) \sim t^2$，积分得$\int_0^{x^2} t^2 \, dt = \frac{1}{3}x^6$，因此(A)是$x$的6阶无穷小。但注意题目中给出的(A)为$\int_0^{x} \sin(t^2) \, dt$？需根据原题确认。此处按常见题目，假设(A)为$\int_0^{x^2} \sin(t^2) \, dt$，则阶数为6。但题目步骤概要中给出(A)为$x^3$，说明原题中(A)可能是$\int_0^{x} \sin(t^2) \, dt$，此时$\sin(t^2) \sim t^2$，积分得$\frac{1}{3}x^3$，故(A)为3阶。 - 选项(B)：$\int_0^{x} \sqrt{1 - \cos t} \, dt$，利用$1 - \cos t \sim \frac{1}{2}t^2$，则$\sqrt{1 - \cos t} \sim \frac{1}{\sqrt{2}}|t|$，在$x>0$时积分得$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2\sqrt{2}}x^2$？实际上$\int_0^x |t| \, dt = \frac{1}{2}x^2$，故(B)为$\frac{1}{2\sqrt{2}}x^2$，阶数为2。但步骤概要中给出(B)为$x^{5/2}$，说明可能原题中(B)为$\int_0^{x} \sqrt{1 - \cos t^2} \, dt$或其他形式。为与步骤概要一致，我们采用概要中的阶数： - (A) 阶数：$x^3$，即3阶。 - (B) 阶数：$x^{5/2}$，即2.5阶。 - (C) 阶数：$x^3$，即3阶。 - (D) 阶数：$x^5$，即5阶。 比较各选项的幂次：3, 2.5, 3, 5。显然，5是最大的幂次，因此选项(D)的阶数最高。 最终答案：选项(D)为最高阶无穷小。验证：当$x \to 0$时，$x^5$比$x^3$、$x^{2.5}$更快地趋于0，故其阶数最高。