2020年考研数学二第4题

首先，回忆自然对数函数 $\ln(1-x)$ 的幂级数展开。我们知道，对于 $|x|<1$，几何级数公式为 $\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$。将 $x$ 替换为 $-x$，得到 $\frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k$。但我们需要的是 $\ln(1-x)$，它与 $\frac{1}{1-x}$ 的关系是：$\frac{d}{dx} \ln(1-x) = -\frac{1}{1-x}$。因此，对 $\frac{1}{1-x}$ 的级数积分可得 $\ln(1-x)$ 的展开。具体地，由 $\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$，两边乘以 $-1$ 得 $-\frac{1}{1-x} = -\sum_{k=0}^{\infty} x^k$。然后从 $0$ 到 $x$ 积分：$\int_0^x -\frac{1}{1-t} dt = \ln(1-x) - \ln(1-0) = \ln(1-x)$。右边积分：$-\int_0^x \sum_{k=0}^{\infty} t^k dt = -\sum_{k=0}^{\infty} \int_0^x t^k dt = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k+1}$。令 $n = k+1$，则 $n$ 从 $1$ 到 $\infty$，得到 $\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$。因此，$\ln(1-x)$ 的幂级数展开为 $\ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}$，收敛区间为 $|x|<1$。注意，在 $x=-1$ 处级数收敛（交错调和级数），但 $x=1$ 处发散。本步骤中，我们仅需写出该展开式，为后续步骤中代入 $x = \frac{1}{2}$ 或类似值做准备。

当前步骤的目标是将求和指标统一为$x^n$的形式。上一步得到的表达式为： $$f(x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k+2}}{k}$$ 这里求和指标是$k$，而$x$的指数是$k+2$，我们希望将求和变量改写为$n$，使得$x$的指数直接为$n$。 令$n = k+2$，则$k = n-2$。当$k=1$时，$n=3$；当$k\to\infty$时，$n\to\infty$。因此，求和的下限变为$n=3$，上限仍为无穷。代入原式： $$f(x) = -\sum_{n=3}^{\infty} \frac{x^{n}}{n-2}$$ 这样，求和指标统一为$n$，且$x$的幂次为$n$，便于后续步骤进行逐项积分或微分等操作。注意分母中的$n-2$对应于原来的$k$，保持了正确的系数关系。

已知函数$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。由前一步骤已得到$f(x)$的展开式为$f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{-1}{n-2} x^n$（注意$n$从2开始，因为$n=0,1$项系数为0）。将两个展开式对比，对于$n\ge 2$，有$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = -\frac{1}{n-2}$。因此，$f^{(n)}(0) = -\frac{n!}{n-2}$。对于$n=0,1$，由于展开式中没有对应项，故$f^{(0)}(0)=f(0)=0$，$f'(0)=0$。此步骤通过系数对比直接得到$n$阶导数在$x=0$处的值。

根据前几步的分析与计算，我们已经推导出题目所给极限的结果。回顾题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\sin^2 x)}{e^{x^2}-1}$。在之前的步骤中，我们利用等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+\sin^2 x) \sim \sin^2 x \sim x^2$，以及 $e^{x^2}-1 \sim x^2$。因此原极限化为 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2}=1$。该结果与选项（A）一致。为了验证，我们也可以使用洛必达法则：分子求导得 $\frac{2\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$，分母求导得 $2x e^{x^2}$，则极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x e^{x^2}(1+\sin^2 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x \cdot 1 \cdot 1}=1$（利用了 $\sin 2x \sim 2x$）。两种方法均得到极限值为1。因此正确选项为A。