2022年考研数学二第12题

首先，题目中给出了隐函数方程 $x^2 + xy + y^3 = 3$，我们需要求曲线在点 $(1, y)$ 处的切线方程，因此必须先确定当 $x=1$ 时对应的 $y$ 值。将 $x=1$ 代入原方程，得到： $$1^2 + 1 \cdot y + y^3 = 3$$ 化简得： $$1 + y + y^3 = 3$$ 移项整理： $$y^3 + y - 2 = 0$$ 这是一个关于 $y$ 的三次方程。尝试寻找有理根，可能的根为 $\pm1, \pm2$。将 $y=1$ 代入验证： $$1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$$ 因此 $y=1$ 是方程的一个根。由于方程是三次的，理论上还有另外两个根，但题目中曲线在点 $(1,1)$ 处有切线，且通常隐函数求导时我们只考虑该点附近的局部性质，故取 $y=1$。因此，当 $x=1$ 时，对应的 $y$ 值为 $1$，即点坐标为 $(1,1)$。

给定隐函数方程 $x^2 + xy + y^3 = 3$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。为了求出 $y' = \frac{dy}{dx}$，我们对等式两边同时关于 $x$ 求导。 首先，对左边第一项 $x^2$ 求导，得 $2x$。 第二项 $xy$ 是乘积形式，应用乘积法则：$(xy)' = x' \cdot y + x \cdot y' = 1 \cdot y + x \cdot y' = y + x y'$。 第三项 $y^3$ 是复合函数，应用链式法则：$(y^3)' = 3y^2 \cdot y'$。 右边常数 $3$ 的导数为 $0$。 因此，求导后的方程为： $$2x + (y + x y') + 3y^2 y' = 0$$ 整理得： $$2x + y + x y' + 3y^2 y' = 0$$ 这就是一阶导数方程。

将已知条件$x=1$，$y=1$代入上一步得到的方程$2x + y + x y' + 3y^2 y' = 0$中。 首先代入$x=1$和$y=1$： - $2x$变为$2 \times 1 = 2$； - $y$变为$1$； - $x y'$变为$1 \cdot y' = y'$； - $3y^2 y'$变为$3 \times 1^2 \times y' = 3y'$。 因此方程化为： $$2 + 1 + y' + 3y' = 0$$ 合并常数项：$2 + 1 = 3$，得到： $$3 + y' + 3y' = 0$$ 合并$y'$项：$y' + 3y' = 4y'$，于是： $$3 + 4y' = 0$$ 移项求解： $$4y' = -3$$ $$y' = -\frac{3}{4}$$ 因此，在点$(1,1)$处的导数值$y'(1) = -\frac{3}{4}$。

上一步我们已经得到一阶导数方程： $$2x + y + x y' + 3y^2 y' = 0$$ 现在对该方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此求导时需使用隐函数求导法则。 首先，对第一项 $2x$ 求导，得 $2$。 第二项 $y$ 对 $x$ 求导，得 $y'$。 第三项 $x y'$ 是乘积形式，使用乘积法则：$(x y')' = 1 \cdot y' + x \cdot y'' = y' + x y''$。 第四项 $3y^2 y'$ 也是乘积形式，且 $y^2$ 是 $y$ 的函数，$y'$ 也是 $y$ 的函数。我们将其视为 $3 \cdot (y^2) \cdot (y')$。对 $y^2$ 关于 $x$ 求导得 $2y \cdot y'$，对 $y'$ 关于 $x$ 求导得 $y''$。因此，使用乘积法则： $$(3y^2 y')' = 3 \left[ (y^2)' \cdot y' + y^2 \cdot (y')' \right] = 3 \left[ (2y y') \cdot y' + y^2 \cdot y'' \right] = 6y (y')^2 + 3y^2 y''$$ 将以上各项的导数相加，并令其等于0（因为右边常数0的导数为0），得到： $$2 + y' + (y' + x y'') + (6y (y')^2 + 3y^2 y'') = 0$$ 合并同类项： $$2 + y' + y' + x y'' + 6y (y')^2 + 3y^2 y'' = 0$$ 即 $$2 + 2y' + x y'' + 6y (y')^2 + 3y^2 y'' = 0$$ 这就是所求的二阶导数方程。

将已知条件 $x=1$，$y=1$，$y'=-\frac{3}{4}$ 代入步骤4得到的方程： $$2 + 2xy' + xy'' + 6xy'^2 + 3x^2y'' = 0$$ 代入后得到： $$2 + 2\cdot1\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) + 1\cdot y'' + 6\cdot1\cdot\left(\frac{9}{16}\right) + 3\cdot1\cdot y'' = 0$$ 计算各项： $2$ 保持不变； $2\cdot1\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2}$； $1\cdot y'' = y''$； $6\cdot1\cdot\frac{9}{16} = \frac{54}{16} = \frac{27}{8}$； $3\cdot1\cdot y'' = 3y''$。 合并同类项： $$2 - \frac{3}{2} + y'' + \frac{27}{8} + 3y'' = 0$$ 将常数项合并：$2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$，再加上 $\frac{27}{8}$，通分得 $\frac{4}{8} + \frac{27}{8} = \frac{31}{8}$。 将 $y''$ 项合并：$y'' + 3y'' = 4y''$。 因此方程化为： $$\frac{31}{8} + 4y'' = 0$$ 移项得： $$4y'' = -\frac{31}{8}$$ 解得： $$y''(1) = -\frac{31}{32}$$ 最终答案验证：将 $y''(1) = -\frac{31}{32}$ 代回原方程，左边等于 $\frac{31}{8} + 4\cdot\left(-\frac{31}{32}\right) = \frac{31}{8} - \frac{31}{8} = 0$，等式成立，结果正确。