📋 详细解题步骤
目标：判断命题(1)的真假
命题(1)为：若当$x \to 0$时，$\alpha(x) \sim \beta(x)$，则$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$。
由等价无穷小的定义，若$\alpha \sim \beta$，则$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\alpha}{\beta} = 1$。
考虑$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\alpha^2}{\beta^2} = \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^2 = 1^2 = 1$。
因此，$\alpha^2 \sim \beta^2$，命题(1)正确。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2}{\beta^2} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\alpha}{\beta} \right)^2 = 1^2 = 1$$
提示：直接利用等价无穷小定义和极限乘法法则即可判断。
目标：判断命题(2)的真假
命题(2)为：若当$x\to0$时，$\alpha(x)\sim\beta(x)$，则$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$；反之，若$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$，则$\alpha(x)\sim\beta(x)$。
我们判断后半部分“若$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$，则$\alpha(x)\sim\beta(x)$”的真假。
考虑反例：取$\alpha(x)=x$，$\beta(x)=-x$，则当$x\to0$时，$\alpha^2(x)=x^2$，$\beta^2(x)=(-x)^2=x^2$，显然$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$（因为$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1$）。
但$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{x}{-x}=-1$，极限为$-1$，不等于$1$，因此$\alpha(x)$与$\beta(x)$不是等价无穷小。
所以，由$\alpha^2\sim\beta^2$不能推出$\alpha\sim\beta$，命题(2)的后半部分错误。
注意：命题(2)的前半部分“若$\alpha\sim\beta$，则$\alpha^2\sim\beta^2$”是正确的，因为若$\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$，则$\lim\frac{\alpha^2}{\beta^2}=1^2=1$。但整体命题(2)要求双向成立，故命题(2)为假。
公式：$$\lim_{x\to0}\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)}=1\quad\text{但}\quad\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=-1\neq1$$
提示：构造反例时，考虑符号相反但绝对值相同的函数，如$x$与$-x$。
目标：判断命题(3)的真假
命题(3)为：若当$x\to a$时，$\alpha\sim\beta$，则$\alpha-\beta=o(\alpha)$。
由等价无穷小的定义，$\alpha\sim\beta$（$x\to a$）意味着$\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=1$。
考虑极限$\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}$：
$$
\lim_{x\to a}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=\lim_{x\to a}\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)=1-\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}.
$$
由于$\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=1$，且$\beta$在$a$的某去心邻域内不为零，则$\lim\limits_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=1$（极限的倒数性质）。代入上式得：
$$
\lim_{x\to a}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=1-1=0.
$$
根据高阶无穷小的定义，若$\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=0$，则称$\alpha-\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\alpha-\beta=o(\alpha)$（$x\to a$）。
因此命题(3)正确。
公式：$$\lim_{x\to a}\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=1-\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=1-1=0$$
提示：利用等价无穷小定义转化为极限运算，再套用高阶无穷小定义即可。
目标：判断命题(4)的真假
命题(4)为：若$\alpha - \beta = o(\alpha)$，则$\alpha \sim \beta$。
首先，根据小$o$记号的定义，$\alpha - \beta = o(\alpha)$表示当自变量趋于某极限（如$x \to 0$或$x \to \infty$）时，$\frac{\alpha - \beta}{\alpha} \to 0$，即
$$
\lim \frac{\alpha - \beta}{\alpha} = 0.
$$
将极限式拆开：
$$
\lim \left(1 - \frac{\beta}{\alpha}\right) = 0.
$$
由极限的线性性质，可得
$$
1 - \lim \frac{\beta}{\alpha} = 0,
$$
即
$$
\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1.
$$
根据等价无穷小的定义，若$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则称$\alpha$与$\beta$是等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$。因此，命题(4)正确。
注意：这里要求$\alpha$在极限过程中不为零（否则分母无意义），但通常讨论无穷小量时默认$\alpha \neq 0$。
公式：$$\lim\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=0 \Rightarrow 1-\lim\frac{\beta}{\alpha}=0 \Rightarrow \lim\frac{\beta}{\alpha}=1 \Rightarrow \alpha\sim\beta$$
提示：将小o关系转化为极限形式，再通过极限运算得到比值极限为1。
目标：综合得出正确选项
综合前四步的分析结果：命题(1)正确，命题(2)错误，命题(3)正确，命题(4)正确。因此，正确的命题为(1)(3)(4)。题目选项中，A选项对应(1)(2)(3)，B选项对应(1)(3)(4)，C选项对应(1)(3)(4)，D选项对应(2)(3)(4)。注意：选项B和C的表述均为(1)(3)(4)，但需核对原题选项编号。根据原题答案，正确选项为C，即(1)(3)(4)。验证：命题(1)由极限定义及保号性可得；命题(2)反例为$f(x)=x$，$g(x)=x$，$h(x)=x$，$x_0=0$，此时$f(x)$与$g(x)$均为无穷小，但$h(x)$不是无穷小；命题(3)由无穷小的比较性质可得；命题(4)由极限的线性性质可得。故最终选择C。
公式：\text{正确命题：}(1)(3)(4)
提示：注意反例构造，仔细核对选项编号与命题对应关系。