2022年考研数学二第8题

首先，已知矩阵 $A$ 的特征值为 $1, -1, 0$。由于这三个特征值互不相同，根据线性代数理论，属于不同特征值的特征向量线性无关，因此 $A$ 有 3 个线性无关的特征向量，从而 $A$ 可对角化。具体地，存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $A = P \Lambda P^{-1}$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(1, -1, 0)$。 相似对角化的核心意义在于：矩阵 $A$ 的许多性质可以通过对角矩阵 $\Lambda$ 来研究。例如，$A$ 的秩等于 $\Lambda$ 的非零特征值个数，这里非零特征值为 $1$ 和 $-1$，共两个，所以 $\operatorname{rank}(A) = 2$。$A$ 的行列式等于特征值的乘积，即 $\det(A) = 1 \times (-1) \times 0 = 0$，故 $A$ 是奇异矩阵。$A$ 的迹等于特征值之和，即 $\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 0 = 0$。 此外，对于任意多项式 $f(x)$，有 $f(A) = P f(\Lambda) P^{-1}$，其中 $f(\Lambda) = \operatorname{diag}(f(1), f(-1), f(0))$。这一性质在后续计算矩阵多项式时非常有用。 因此，本步骤的核心结论是：由特征值互异可推出 $A$ 可对角化，且相似于对角矩阵 $\Lambda$，这是后续步骤中计算 $A$ 的幂或多项式的基础。

本题要求判断矩阵 $A$ 与 $B$ 之间的关系，使得 $A$ 可相似对角化。首先明确相似对角化的定义：存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP = \Lambda$（对角矩阵）。选项B直接给出此定义，因此正确。 选项A：$A$ 与 $B$ 等价，即存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $PAQ = B$。等价仅保证秩相等，不保证特征值相同，更不保证存在同一个可逆矩阵实现对角化，因此不满足相似对角化条件。 选项C：存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = B$。正交相似要求 $A$ 为实对称矩阵（此时 $Q^T = Q^{-1}$），但题目未给出 $A$ 为实对称，故一般不能保证 $A$ 可正交对角化，即不满足相似对角化条件。 选项D：$A$ 与 $B$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^TAC = B$。合同关系保持惯性指数，但不保证特征值相同，也不保证存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角阵，因此不满足相似对角化条件。 综上，仅选项B正确。