💡 答案解析
**答案**: 1 ．
---
**解析**:
方法一 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ ，因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关，所以 $\boldsymbol{P}$ 可逆．
由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\left(\mathbf{0}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，即 $\boldsymbol{A} \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，于是 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ll}\lambda & \lambda-2 \\ 0 & \lambda-1\end{array}\right|=\lambda(\lambda-1)=0$ ，得 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为 $\lambda=1$ 。
方法二 由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}=0 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ ，得 $\lambda_{1}=0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值。
又由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，得 $\boldsymbol{A}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=1\left(2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ ，注意到 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为非零向量，从而 $\lambda_{2}=1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的另一个特征值，故 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为 1 ．
方法点评：求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值通常有三种方法：
📋 详细解题步骤
目标：理解已知条件并确定解题方向
已知 $A$ 是 2 阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（即它们构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基），且满足：
$$A\alpha_1 = 0, \quad A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2.$$
目标是求 $A$ 的非零特征值。
首先，由 $A\alpha_1 = 0$ 可知 $\alpha_1$ 是 $A$ 的属于特征值 $0$ 的特征向量。因此 $0$ 是 $A$ 的一个特征值。由于 $A$ 是 2 阶矩阵，它有两个特征值（计重数），所以另一个特征值就是非零特征值，记为 $\lambda$。
接下来，我们需要利用第二个条件 $A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2$。注意这个等式并不是特征向量的形式，因为 $A\alpha_2$ 不是 $\alpha_2$ 的倍数，而是 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合。这提示我们考虑在基 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$ 下 $A$ 的矩阵表示。
设 $\beta_1 = \alpha_1, \beta_2 = \alpha_2$，则 $A$ 在这组基下的矩阵 $B$ 满足：
$$A\beta_1 = 0 \cdot \beta_1 + 0 \cdot \beta_2,$$
$$A\beta_2 = 2\beta_1 + 1\cdot \beta_2.$$
因此
$$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
矩阵 $B$ 与 $A$ 相似（因为它们是同一线性变换在不同基下的表示），所以它们有相同的特征值。
现在问题转化为求矩阵 $B$ 的特征值。$B$ 是上三角矩阵，其特征值即对角线元素 $0$ 和 $1$。因此 $A$ 的非零特征值为 $1$。
解题方向：通过将 $A$ 在已知基下表示为矩阵 $B$，利用相似矩阵特征值相同，直接读取 $B$ 的特征值得到答案。
公式：$$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：将线性变换在已知基下表示为矩阵，利用相似性求特征值。
目标：构造可逆矩阵P并计算AP
根据步骤1中求出的特征值$\lambda_1=0$和$\lambda_2=1$，以及对应的特征向量$\alpha_1$和$\alpha_2$，我们构造可逆矩阵$P$。令$P=(\alpha_1,\alpha_2)$，即$P$的第一列为特征向量$\alpha_1$，第二列为特征向量$\alpha_2$。由于$\alpha_1$和$\alpha_2$属于不同特征值，它们线性无关，因此$P$是可逆矩阵。
接下来计算$AP$。根据矩阵乘法的定义，$AP = A(\alpha_1,\alpha_2) = (A\alpha_1, A\alpha_2)$。由特征向量的性质，$A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1 = 0\cdot\alpha_1 = \mathbf{0}$（零向量），$A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2 = 1\cdot\alpha_2 = \alpha_2$。但题目中给出的结果是$A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2$，这表明$\alpha_2$并不是矩阵$A$的特征向量，而是满足某种广义特征向量的关系。实际上，由于$\lambda=1$是二重根但几何重数小于代数重数，$\alpha_2$是广义特征向量，满足$(A-I)\alpha_2 = 2\alpha_1$，从而$A\alpha_2 = \alpha_2 + 2\alpha_1$。因此，
$$AP = (A\alpha_1, A\alpha_2) = (0, 2\alpha_1 + \alpha_2).$$
这个结果将用于后续步骤中计算$P^{-1}AP$，从而得到Jordan标准形。
公式：$$AP = (A\alpha_1, A\alpha_2) = (0, 2\alpha_1 + \alpha_2)$$
提示：注意当特征值代数重数大于几何重数时，需使用广义特征向量构造可逆矩阵。
目标：将AP表示为P乘以一个矩阵
已知矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2)$，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 是列向量。我们需要计算 $AP$，即 $A$ 左乘 $P$。由矩阵乘法定义，$AP = (A\alpha_1, A\alpha_2)$。题目条件给出 $A\alpha_1 = 0$，$A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2$。因此 $AP = (0, 2\alpha_1 + \alpha_2)$。
现在要将 $AP$ 表示为 $P$ 乘以一个 $2 \times 2$ 矩阵的形式，即 $AP = P \cdot B$，其中 $B$ 是待求矩阵。设 $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$，则 $P \cdot B = (\alpha_1, \alpha_2) \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = (b_{11}\alpha_1 + b_{21}\alpha_2, \ b_{12}\alpha_1 + b_{22}\alpha_2)$。
比较 $AP$ 的第一列：$A\alpha_1 = 0$，而 $P \cdot B$ 的第一列为 $b_{11}\alpha_1 + b_{21}\alpha_2$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（题目隐含条件），要使 $b_{11}\alpha_1 + b_{21}\alpha_2 = 0$，必须 $b_{11}=0, b_{21}=0$。
比较第二列：$A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2$，而 $P \cdot B$ 的第二列为 $b_{12}\alpha_1 + b_{22}\alpha_2$。由线性无关性，对应系数相等，得 $b_{12}=2, b_{22}=1$。
因此 $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，即 $AP = P \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：AP = P \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：利用线性无关性，将矩阵乘积的列与已知列向量对应，直接读出系数矩阵。
目标：得到相似矩阵并求特征值
由已知条件 $AP = P \cdot B$，其中 $P$ 可逆，因此左乘 $P^{-1}$ 可得 $P^{-1}AP = B$。这里 $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，即矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。相似矩阵具有相同的特征值，故只需计算 $B$ 的特征值。
计算 $B$ 的特征多项式：
$$|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -2 \\ 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1) - 0 = \lambda(\lambda-1).$$
令特征多项式等于零：$\lambda(\lambda-1)=0$，解得特征值为 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$。
因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $0$ 和 $1$。
公式：$$|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -2 \\ 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)$$
提示：相似矩阵特征值相同，只需计算简单矩阵B的特征值即可。
目标：确定非零特征值
由前几步已知矩阵$A$与矩阵$B$相似，即存在可逆矩阵$P$使得$A = P^{-1}BP$。相似矩阵具有完全相同的特征值（包括重数），因此我们只需计算$B$的非零特征值即可得到$A$的非零特征值。
矩阵$B$的结构为：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
这是一个秩为1的矩阵（第一行非零，后两行全零）。对于秩1矩阵，其非零特征值等于矩阵的迹（trace），即主对角线元素之和。计算$B$的迹：
$$\operatorname{tr}(B) = 1 + 0 + 0 = 1.$$
因此$B$有一个非零特征值$\lambda = 1$，其余两个特征值均为0。
由于$A$与$B$相似，$A$的特征值与$B$完全相同，故$A$的非零特征值也为$1$。
最终答案验证：$A$的非零特征值为$1$。
公式：$$\lambda_{\text{非零}} = \operatorname{tr}(B) = 1$$
提示：相似矩阵特征值完全相同，只需计算较简单矩阵的特征值即可。