2023年考研数学二第4题

给定二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + a y' + b y = 0$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。求解此类方程的关键是将其转化为代数方程。我们假设解的形式为 $y = e^{rx}$，其中 $r$ 为待定常数。对 $y$ 求导得 $y' = r e^{rx}$，$y'' = r^2 e^{rx}$。代入原方程得： $$r^2 e^{rx} + a r e^{rx} + b e^{rx} = 0$$ 由于 $e^{rx} \neq 0$，两边同除以 $e^{rx}$ 得到特征方程： $$r^2 + a r + b = 0$$ 这个关于 $r$ 的二次代数方程称为原微分方程的特征方程，它的根决定了微分方程通解的形式。

对于二阶常系数线性微分方程，其解的有界性完全由特征根决定。设特征方程为 $r^2 + ar + b = 0$，特征根为 $r_1, r_2$。解在 $(-\infty, +\infty)$ 上有界当且仅当所有特征根的实部均 $\leq 0$，并且若实部为 $0$，则对应的根必须是纯虚数（即 $b > 0$）。 具体分析如下： 1. **两个相异实根**：$r_1, r_2 \in \mathbb{R}$ 且 $r_1 \neq r_2$。通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$。当 $x \to +\infty$ 时，若任一 $r_i > 0$，则 $e^{r_i x} \to +\infty$，解无界；若 $r_i < 0$，则 $e^{r_i x} \to 0$，有界；若 $r_i = 0$，则对应项为常数，有界。因此有界要求 $r_1 \leq 0$ 且 $r_2 \leq 0$。 2. **重实根**：$r_1 = r_2 = r \in \mathbb{R}$。通解为 $y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$。当 $r > 0$ 时，$e^{r x}$ 增长快于 $x$ 的线性增长，解无界；当 $r = 0$ 时，$y = C_1 + C_2 x$，当 $C_2 \neq 0$ 时，$x \to \pm\infty$ 导致 $y$ 无界；当 $r < 0$ 时，$e^{r x}$ 指数衰减，$x e^{r x} \to 0$，解有界。因此有界要求 $r < 0$。 3. **共轭复根**：$r_{1,2} = \alpha \pm i \beta$，$\beta > 0$。通解为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$。当 $\alpha > 0$ 时，$e^{\alpha x}$ 指数增长，解无界；当 $\alpha < 0$ 时，$e^{\alpha x}$ 指数衰减，解有界；当 $\alpha = 0$ 时，$y = C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x$，为周期函数，在 $(-\infty, +\infty)$ 上有界。因此有界要求 $\alpha \leq 0$，且当 $\alpha = 0$ 时必须有 $\beta \neq 0$（即 $b > 0$，因为 $b = \alpha^2 + \beta^2 = \beta^2 > 0$）。 综合以上三种情况，解在 $(-\infty, +\infty)$ 上有界的充要条件是：特征根的实部均 $\leq 0$，且若实部为 $0$，则根为纯虚数（即 $b > 0$）。

对于特征方程 $r^2 + ar + b = 0$，其判别式为 $\Delta = a^2 - 4b$。根据 $\Delta$ 的符号，分三种情况讨论微分方程解的有界性条件。 **情况1：$\Delta > 0$（两个不等实根）** 此时特征根为 $r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$。通解形式为 $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$。要使解在 $[0,+\infty)$ 上有界，必须 $r_1 \leq 0$ 且 $r_2 \leq 0$。由于 $r_1 > r_2$（取 $+$ 号者为较大根），只需最大根 $r_1 \leq 0$，即 $\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2} \leq 0$，等价于 $\sqrt{a^2 - 4b} \leq a$。这要求 $a \geq 0$ 且 $a^2 - 4b \leq a^2$，即 $b \geq 0$。同时判别式条件 $a^2 - 4b > 0$ 给出 $a^2 > 4b$。综合得 $a \geq 0,\, b \geq 0,\, a^2 > 4b$。 **情况2：$\Delta = 0$（重根）** 此时特征根 $r = -\frac{a}{2}$（二重根）。通解为 $y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{a}{2}x}$。要使解有界，必须 $r \leq 0$ 且多项式部分不导致发散。当 $r < 0$ 时，指数衰减，但 $C_2 x e^{rx}$ 当 $x \to +\infty$ 时趋于 $0$（因为指数衰减占主导），故有界；当 $r = 0$ 时，解为 $y = C_1 + C_2 x$，当 $C_2 \neq 0$ 时无界，因此必须 $C_2 = 0$，但 $C_2$ 由初始条件决定，不能保证对所有解成立，故要求 $r < 0$ 即 $-\frac{a}{2} < 0$，得 $a > 0$。同时判别式为零给出 $b = \frac{a^2}{4}$。综合得 $a > 0,\, b = \frac{a^2}{4}$。 **情况3：$\Delta < 0$（共轭复根）** 此时特征根为 $r = -\frac{a}{2} \pm i\omega$，其中 $\omega = \frac{\sqrt{4b - a^2}}{2} > 0$。通解为 $y(x) = e^{-\frac{a}{2}x} \left( C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x) \right)$。要使解有界，必须指数部分不增长，即 $-\frac{a}{2} \leq 0$，得 $a \geq 0$。但若 $a > 0$，指数衰减，解有界；若 $a = 0$，解为 $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$，有界。同时判别式小于零给出 $a^2 < 4b$。综合得 $a \geq 0,\, b > \frac{a^2}{4}$。注意 $b > 0$ 自动成立。 **总结**：将三种情况合并，可得有界性条件为 $a \geq 0,\, b \geq 0$ 且 $a^2 \geq 4b$（当 $\Delta \geq 0$ 时）或 $a \geq 0,\, b > \frac{a^2}{4}$（当 $\Delta < 0$ 时）。实际上，$a \geq 0,\, b \geq 0$ 且 $a^2 \geq 4b$ 已包含 $\Delta \geq 0$ 的情形，而 $\Delta < 0$ 的情形要求 $a \geq 0,\, b > \frac{a^2}{4}$，这等价于 $a \geq 0,\, b > 0$ 且 $a^2 < 4b$。因此最终条件可表述为：$a \geq 0$ 且 $b \geq 0$，且 $a^2 \geq 4b$ 或 $a^2 < 4b$（后者自动满足 $b > 0$）。实际上，$a \geq 0,\, b \geq 0$ 即为充要条件。