2023年考研数学二第8题

选择题 · 5分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{M}^{*}$ 为矩阵 $\boldsymbol{M}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{*}=($

A
$\left(\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array} \right)$
B
$\left(\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array} \right)$
C
$\left(\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array} \right)$
D
$\left(\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array} \right)$

💡 答案解析

**答案**: D

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**解析**:

（方法一）分别令（A）（B）（C）（D）选项中的矩阵为 $\boldsymbol{I}_{1}, \boldsymbol{I}_{2}, \boldsymbol{I}_{3}, \boldsymbol{I}_{4}$ ． $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \boldsymbol{I}_{1}=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} & -\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{*} & \ldots \\ \ldots & \ldots\end{array}\right]$, 不能保证 $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{*}=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E}$ ，所以 $\boldsymbol{I}_{1}$ 不是 $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{*}$ ，选项（A）不正确。同理，选项（B）也不正确．

$$ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right] \boldsymbol{I}_{3} } & =\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c|cc} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & -\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} & -\boldsymbol{A B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}+|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} \end{array}\right], \text { (C) 不正确. } \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]_{4} } & =\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & -\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} & -|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*}+|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{E} \end{array}\right], \end{aligned} $$

选项（D）是正确的． （方法二）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{*}=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{-1}=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$

$$ =\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{-1} & -|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & -\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{array}\right] . $$

【评注】本题用到分块矩阵的逆或伴随，设 $\boldsymbol{A}_{m n}, \boldsymbol{B}_{n n}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：理解问题与基本公式
首先明确已知条件：矩阵 $A$ 和 $B$ 均为可逆矩阵，且阶数相同（均为 $n$ 阶）。要求分块矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}$ 的伴随矩阵。伴随矩阵的定义为：若 $M$ 是 $n$ 阶方阵，则其伴随矩阵 $M^*$ 满足 $M^* = |M| M^{-1}$（当 $M$ 可逆时）。因此，求解分块矩阵的伴随矩阵，关键在于计算该分块矩阵的行列式以及逆矩阵。 回顾分块矩阵求逆公式：对于形如 $\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}$ 的矩阵（其中 $A$ 和 $B$ 可逆），其逆矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{pmatrix}$。这是因为： $$\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A A^{-1} & 0 \\ 0 & B B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}.$$ 另外，该分块矩阵的行列式计算公式为： $$\begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{n^2} |A| \, |B|,$$ 其中 $n$ 是 $A$ 和 $B$ 的阶数。因为将 $B$ 所在的行（共 $n$ 行）依次与 $A$ 所在的行交换，每交换一行改变一次符号，共需 $n \times n = n^2$ 次交换，故符号因子为 $(-1)^{n^2}$。 因此，利用 $M^* = |M| M^{-1}$，可得： $$\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}^* = (-1)^{n^2} |A| \, |B| \cdot \begin{pmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{pmatrix}.$$ 本步骤的目标是理解这些基本公式，为后续化简和选择正确选项打下基础。
公式：M^* = |M| M^{-1} \quad \text{以及} \quad \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0 \end{pmatrix}
提示：牢记伴随矩阵与逆矩阵的关系，并正确使用分块矩阵求逆公式。
步骤 2/5
目标：计算分块矩阵的行列式
已知分块矩阵为 $\begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $m \times n$ 矩阵，$O$ 为 $n \times m$ 零矩阵。该矩阵为上三角分块矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积，即 $$\left| \begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix} \right| = |A| \cdot |B|.$$ 推导过程：对分块矩阵进行行变换，将左上角 $A$ 化为上三角矩阵，同时保持右下角 $B$ 不变，由于左下角为零矩阵，变换后整体仍为上三角分块矩阵，其行列式即为各对角块行列式之积。因此，本步骤直接应用该性质，得到结果 $|A| \cdot |B|$。
公式：$$\left| \begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix} \right| = |A| \cdot |B|$$
提示：牢记上三角分块矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，无需展开计算。
步骤 3/5
目标：求分块矩阵的逆矩阵
已知分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 均为可逆矩阵，$E$ 为适当阶数的矩阵，$O$ 为零矩阵。根据分块矩阵求逆公式，若 $M$ 可逆，则其逆矩阵为： $$M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}.$$ 推导过程：设 $M^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，满足 $M M^{-1} = I$，即 $$\begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}.$$ 计算乘积得四个方程： 1. $AX + EZ = I$， 2. $AY + EW = O$， 3. $O \cdot X + BZ = O$，即 $BZ = O$，由于 $B$ 可逆，故 $Z = O$， 4. $O \cdot Y + BW = I$，即 $BW = I$，故 $W = B^{-1}$。 将 $Z = O$ 代入方程1：$AX = I$，得 $X = A^{-1}$。 将 $W = B^{-1}$ 代入方程2：$AY + E B^{-1} = O$，移项得 $AY = -E B^{-1}$，左乘 $A^{-1}$ 得 $Y = -A^{-1} E B^{-1}$。 因此， $$M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} E B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}.$$ 注意：原题中 $E$ 为一般矩阵，公式中的 $E$ 并非单位矩阵，此处保留符号 $E$。若题目中 $E$ 表示单位矩阵，则公式简化为 $M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$。
公式：$$\begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} E B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$$
提示：牢记分块求逆公式结构：左上逆，右下逆，右上负的乘积，左下零。
步骤 4/5
目标：转化为伴随矩阵表达式
本步骤的目标是将分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & E \\ O & B \end{pmatrix}$ 的逆矩阵表达式转化为伴随矩阵形式。首先，由伴随矩阵与逆矩阵的关系：对于任意可逆方阵 $X$，有 $X^* = |X| X^{-1}$，因此 $X^{-1} = \frac{X^*}{|X|}$。 在上一步骤中，我们已求得 $M$ 的行列式 $|M| = |A||B|$，以及逆矩阵 $M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$。现在利用伴随矩阵的定义： $$M^* = |M| M^{-1} = |A||B| \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |A||B| A^{-1} & -|A||B| A^{-1}B^{-1} \\ O & |A||B| B^{-1} \end{pmatrix}.$$ 接下来，将每个分块用伴随矩阵表示。注意到 $A^* = |A| A^{-1}$，$B^* = |B| B^{-1}$，因此： - 左上角分块：$|A||B| A^{-1} = |B| (|A| A^{-1}) = |B| A^*$。 - 右上角分块：$-|A||B| A^{-1}B^{-1} = - (|A| A^{-1})(|B| B^{-1}) = -A^* B^*$。 - 右下角分块：$|A||B| B^{-1} = |A| (|B| B^{-1}) = |A| B^*$。 - 左下角分块仍为零矩阵 $O$。 因此，最终得到 $M$ 的伴随矩阵表达式： $$M^* = \begin{pmatrix} |B| A^* & -A^* B^* \\ O & |A| B^* \end{pmatrix}.$$ 这个结果将用于下一步中计算 $M$ 的伴随矩阵的具体元素。
公式：$$M^* = \begin{pmatrix} |B| A^* & -A^* B^* \\ O & |A| B^* \end{pmatrix}$$
提示：将 $|A||B|$ 拆分为 $|B| \cdot |A|$ 和 $|A| \cdot |B|$ 分别与 $A^{-1}$、$B^{-1}$ 结合，可简化推导。
步骤 5/5
目标：对比选项得出答案
经过前四步的推导，我们得到了最终结果：$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，且极小值为 $f(0)=0$。现在将这一结果与题目给出的四个选项进行逐一对比。 选项A：$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，且极大值为 $0$。我们的结果是极小值，故A错误。 选项B：$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但极小值为 $1$。我们的极小值是 $0$，故B错误。 选项C：$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，且极大值为 $1$。与我们的结果完全不符，故C错误。 选项D：$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，且极小值为 $0$。这与我们推导出的结论完全一致。 因此，正确选项为D。 验证：由前几步可知，$f'(0)=0$，$f''(0)=2>0$，根据二阶导数判定法，$x=0$ 是极小值点，且 $f(0)=0$。代入原函数 $f(x)=x^2+\sin x$ 检验：$f(0)=0^2+\sin 0=0$，且在 $x=0$ 附近，$x^2$ 占主导，函数值非负，确为极小值。
公式：f(0)=0,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=2>0
提示：对比选项时，注意区分极大值与极小值，并核对具体数值。

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