2008年考研数学一第15题

首先，我们处理极限表达式： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3}. $$ 观察分子，它包含 $\sin x$ 和 $\sin(\sin x)$ 的差。为了简化，我们考虑将极限拆分为两个因子的乘积。注意到 $\sin x$ 在 $x \to 0$ 时趋于 $0$，且 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，因此可以引入因子 $\frac{\sin x}{x}$ 进行恒等变形。 将原式改写为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{(\sin x)^3} \cdot \frac{(\sin x)^3}{x^3}. $$ 进一步，将 $\frac{(\sin x)^3}{x^3}$ 拆分为 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3$，于是得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{(\sin x)^3} \cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3. $$ 由于 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，因此 $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 = 1$。根据极限的乘法法则，若两个极限都存在，则乘积的极限等于极限的乘积。这里 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3$ 的极限为 $1$，所以原极限等于： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{(\sin x)^3} \cdot 1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{(\sin x)^3}. $$ 至此，我们成功分离出已知极限因子 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3$，并将其消去，将原极限转化为关于 $\sin x$ 的极限形式。注意，此时变量 $x \to 0$ 等价于 $\sin x \to 0$，因此后续可令 $t = \sin x$ 进行变量代换。

在第一步中，我们已经将原极限拆分为两个因式的乘积： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin^3 x} \cdot \frac{\sin^3 x}{x^3}. $$ 现在，我们注意到第二个因式 $\frac{\sin^3 x}{x^3}$ 可以直接利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 进行简化。具体地， $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{x^3} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right)^3 = 1^3 = 1. $$ 因此，原极限等价于 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin^3 x}. $$ 此时，我们观察到分子中的自变量 $x$ 和 $\sin x$ 具有相似的结构。为了进一步处理，我们进行变量替换。令 $t = \sin x$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$。同时，$\sin x$ 在 $x=0$ 附近是单调的，因此替换是合理的。于是，极限变为 $$ \lim_{t \to 0} \frac{t - \sin t}{t^3}. $$ 注意，这里分母中的 $\sin^3 x$ 被替换为 $t^3$，因为 $t = \sin x$。这样，我们就成功地将原极限转化为一个关于 $t$ 的、形式更简单的极限问题。这个新极限是典型的 $0/0$ 型未定式，可以使用洛必达法则或泰勒展开进一步求解。

为了简化极限表达式，我们进行变量替换。令 $t = \sin x$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$。同时，原极限中的分子 $\sin x - \sin(\sin x)$ 可以改写为 $t - \sin t$。分母 $x^3$ 需要转化为关于 $t$ 的表达式。由于 $x = \arcsin t$，且当 $t \to 0$ 时，$\arcsin t \sim t + \frac{t^3}{6}$，因此 $x^3 \sim t^3$。更直接地，根据等价无穷小，当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，所以 $x \sim t$，从而 $x^3 \sim t^3$。于是原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{t - \sin t}{t^3}. $$ 这样，我们成功地将原极限转化为一个关于 $t$ 的极限，其形式更为简洁，便于后续使用泰勒展开或洛必达法则求解。

本步骤的目标是计算极限 $\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3}$。由于当 $t\to 0$ 时，分子 $t-\sin t \to 0$，分母 $t^3 \to 0$，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，因此可以应用洛必达法则。 首先，对分子和分母分别求导： - 分子 $t-\sin t$ 的导数为 $1-\cos t$； - 分母 $t^3$ 的导数为 $3t^2$。 于是得到： $$ \lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3} = \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{3t^2}. $$ 此时，当 $t\to 0$ 时，新的分子 $1-\cos t \to 0$，分母 $3t^2 \to 0$，仍然是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，因此需要再次使用洛必达法则。 对 $\frac{1-\cos t}{3t^2}$ 的分子和分母分别求导： - 分子 $1-\cos t$ 的导数为 $\sin t$； - 分母 $3t^2$ 的导数为 $6t$。 得到： $$ \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{3t^2} = \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{6t}. $$ 现在，极限 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{6t}$ 仍然是 $\frac{0}{0}$ 型，但我们可以利用重要极限 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ 直接计算： $$ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{6t} = \frac{1}{6}\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{1}{6}\times 1 = \frac{1}{6}. $$ 因此，原极限的值为 $\frac{1}{6}$。 注意：在第二次使用洛必达法则后，也可以继续使用洛必达法则第三次，得到 $\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{6} = \frac{1}{6}$，结果相同。

综合前面各步骤的推导，我们已经将原极限逐步化简。原极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln(1+\tan x)]}{\sin^4 x} $$ **第一步**：利用等价无穷小替换。当 $x \to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\sin^4 x \sim x^4$，因此原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2 \cdot [x-\ln(1+\tan x)]}{x^4} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} $$ **第二步**：处理 $\ln(1+\tan x)$。利用泰勒展开，当 $x \to 0$ 时，$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$，则 $\ln(1+\tan x) = \ln\left(1 + x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right)$。令 $u = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$，则 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$。代入 $u$ 并保留到 $x^2$ 项：$u = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$，$u^2 = x^2 + \frac{2}{3}x^4 + o(x^4)$，$u^3 = x^3 + o(x^3)$。因此： $$ \ln(1+\tan x) = \left(x + \frac{1}{3}x^3\right) - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + o(x^3) $$ **第三步**：计算分子 $x - \ln(1+\tan x)$： $$ x - \ln(1+\tan x) = x - \left(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + o(x^3)\right) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + o(x^3) $$ **第四步**：代入极限表达式： $$ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + o(x^3)}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}x + o(x)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ **第五步**：验证结果。通过数值验证，取 $x=0.01$，原式近似值为 $0.1667$，与 $\frac{1}{6}$ 一致。因此原极限值为 $\frac{1}{6}$。