2024年考研数学二第10题

首先，假设矩阵$A$有两个不相等的特征值。由于$A$是$n$阶方阵且有两个不同的特征值，则$A$可对角化。具体地，设$\lambda_1$和$\lambda_2$是$A$的两个不同特征值，对应的特征向量分别为$\alpha_1,\alpha_2$，则$\alpha_1,\alpha_2$线性无关。进一步，因为$A$可对角化，存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = \Lambda$为对角矩阵，其中$\Lambda$的对角线元素为$A$的特征值（可能重复，但至少有两个不同）。 已知$AB=BA$，即$A$与$B$可交换。由可交换矩阵的性质，若$A$可对角化，则存在同一个可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP$和$P^{-1}BP$同时为对角矩阵。这是因为$A$的每个特征子空间都是$B$的不变子空间，且由于$A$有不同特征值，其特征子空间都是一维的，从而$B$在这些子空间上的限制是数乘变换。因此，$P$可以取为$A$的特征向量组成的矩阵，此时$P^{-1}BP$也是对角矩阵。 于是，$B$可对角化。充分性得证。

必要性：若 $B$ 可对角化，是否必然推出 $A$ 有两个不相等的特征值？我们尝试构造反例。 取 $A$ 为 2 阶单位矩阵 $I_2$，即 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A$ 的特征值全为 $1$（只有一个特征值，且重数为 2），不满足“有两个不相等的特征值”的条件。 取 $B$ 为任意可对角化的矩阵，例如 $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，显然 $B$ 可对角化（本身已是对角矩阵）。 验证 $AB = BA$： $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ 因此 $AB = BA$ 成立。 此时，$B$ 可对角化，但 $A$ 没有两个不相等的特征值（所有特征值均为 $1$）。这说明“$B$ 可对角化”不能推出“$A$ 有两个不相等的特征值”，即必要性不成立。 因此，原命题的充分性成立，但必要性不成立。

由步骤1的推导可知，当条件$p$成立时，能够推出结论$q$成立，即$p \Rightarrow q$，因此充分性成立。由步骤2的反例可知，存在满足结论$q$但不满足条件$p$的情形，即$q \nRightarrow p$，因此必要性不成立。综合充分性与必要性的判断，条件$p$是结论$q$的充分非必要条件。在选项设置中，对应选项B。最终答案验证：充分性已证，必要性反例成立，故判断正确。