2024年考研数学二第17题

首先，分析题目所给的积分区域 $D$。区域 $D$ 由四条曲线围成：$xy = \frac{1}{3}$，$xy = 3$，$y = \frac{x}{3}$，$y = 3x$。这四条曲线将平面分成若干部分，我们需要确定 $D$ 的具体形状。 观察曲线 $xy = \frac{1}{3}$ 和 $xy = 3$，它们都是等轴双曲线，关于直线 $y = x$ 对称。曲线 $y = \frac{x}{3}$ 和 $y = 3x$ 是过原点的直线，且斜率互为倒数，因此它们也关于直线 $y = x$ 对称。 为了验证区域 $D$ 是否关于直线 $y = x$ 对称，我们考虑任意一点 $(x, y) \in D$，其关于直线 $y = x$ 的对称点为 $(y, x)$。由于区域边界方程在交换 $x$ 和 $y$ 后形式不变（例如 $xy = \frac{1}{3}$ 交换后仍为 $xy = \frac{1}{3}$，$y = \frac{x}{3}$ 交换后变为 $x = \frac{y}{3}$ 即 $y = 3x$，恰好是另一条边界），因此对称点 $(y, x)$ 也满足所有边界条件，从而 $(y, x) \in D$。这说明区域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称。 进一步，我们可以画出区域的草图：在 $x > 0, y > 0$ 的第一象限内，双曲线 $xy = \frac{1}{3}$ 和 $xy = 3$ 与直线 $y = \frac{x}{3}$ 和 $y = 3x$ 相交，围成一个封闭区域。由于对称性，该区域被直线 $y = x$ 平分。 这一对称性在后续计算中非常重要，它允许我们利用对称性简化积分，例如将积分区域划分为对称的两部分，或者利用被积函数的奇偶性。在本问题中，后续步骤将利用这一对称性来选择合适的变量代换或简化积分限。

观察积分区域$D$，由题目条件可知$D$关于直线$y=x$对称（即轮换对称）。对于被积函数$f(x,y)=1+x-y$，考虑其轮换形式$f(y,x)=1+y-x$。由于区域$D$的对称性，二重积分满足轮换对称性： $$ \iint_D (1+x-y)\,dxdy = \iint_D (1+y-x)\,dxdy. $$ 将上述两个相等的积分相加，得到： $$ 2\iint_D (1+x-y)\,dxdy = \iint_D [(1+x-y)+(1+y-x)]\,dxdy = \iint_D 2\,dxdy. $$ 因此， $$ \iint_D (1+x-y)\,dxdy = \frac{1}{2} \iint_D 2\,dxdy = \iint_D 1\,dxdy. $$ 而$\iint_D 1\,dxdy$正是区域$D$的面积。所以原积分等于区域$D$的面积。这一化简大大简化了计算，后续只需计算$D$的面积即可。

首先，明确区域D由四条曲线围成：$y = 3x$，$y = \frac{x}{3}$，$y = \frac{1}{3x}$，$y = \frac{3}{x}$。我们需要找出这些曲线之间的交点，以便将区域D分割成便于积分的小区域。 **第一步：求交点** 1. 求$y = 3x$与$y = \frac{3}{x}$的交点： $$3x = \frac{3}{x} \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad (x>0)$$ 代入得$y = 3$，交点为$(1,3)$。 2. 求$y = 3x$与$y = \frac{1}{3x}$的交点： $$3x = \frac{1}{3x} \Rightarrow 9x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \frac{1}{3} \quad (x>0)$$ 代入得$y = 1$，交点为$(\frac{1}{3},1)$。 3. 求$y = \frac{x}{3}$与$y = \frac{3}{x}$的交点： $$\frac{x}{3} = \frac{3}{x} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \quad (x>0)$$ 代入得$y = 1$，交点为$(3,1)$。 4. 求$y = \frac{x}{3}$与$y = \frac{1}{3x}$的交点： $$\frac{x}{3} = \frac{1}{3x} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad (x>0)$$ 代入得$y = \frac{1}{3}$，交点为$(1,\frac{1}{3})$。 **第二步：分析区域形状** 四条曲线围成的区域D是一个封闭区域。观察交点可知，区域D在$x$方向上从$x = \frac{1}{3}$延伸到$x = 3$。在$x = \frac{1}{3}$处，上下边界由$y = 3x$和$y = \frac{1}{3x}$给出；在$x = 3$处，上下边界由$y = \frac{3}{x}$和$y = \frac{x}{3}$给出。但在中间区域，上下边界会发生变化。 **第三步：确定分割方式** 由于在$x=1$处，两条曲线$y=3x$与$y=\frac{3}{x}$相交，同时$y=\frac{x}{3}$与$y=\frac{1}{3x}$也相交，因此$x=1$是区域形状变化的关键分界线。因此，将区域D沿$x=1$分割为左右两部分： - **左边部分**：$x$从$\frac{1}{3}$到$1$，下边界为$y = \frac{1}{3x}$，上边界为$y = 3x$。 - **右边部分**：$x$从$1$到$3$，下边界为$y = \frac{x}{3}$，上边界为$y = \frac{3}{x}$。 这样分割后，每个子区域在$x$方向上的上下边界都是单一函数，便于后续积分计算。

我们需要计算定积分 $\int_{1/3}^1 \left(3x - \frac{1}{3x}\right) dx$。首先，将被积函数拆分为两项：$3x$ 和 $-\frac{1}{3x}$，分别积分。 计算第一项：$\int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2$。 计算第二项：$\int -\frac{1}{3x} \, dx = -\frac{1}{3} \ln|x|$。 因此，原积分的原函数为 $F(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}\ln x$（在区间 $[1/3, 1]$ 上 $x>0$，绝对值可去掉）。 代入上下限： $$\int_{1/3}^1 \left(3x - \frac{1}{3x}\right) dx = F(1) - F\left(\frac{1}{3}\right)$$ 计算 $F(1)$： $$F(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{3}\ln 1 = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2}$$ 计算 $F\left(\frac{1}{3}\right)$： $$F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3}\ln\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3}(-\ln 3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\ln 3$$ 因此： $$\int_{1/3}^1 \left(3x - \frac{1}{3x}\right) dx = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\ln 3\right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\ln 3 = \frac{9}{6} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\ln 3 = \frac{8}{6} - \frac{1}{3}\ln 3 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\ln 3$$ 所以左边部分的面积为 $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\ln 3$。

我们需要计算右边部分的面积，即曲线 $y = \frac{3}{x}$ 与直线 $y = \frac{x}{3}$ 在区间 $[1, 3]$ 上所围成的区域面积。由于在区间 $[1, 3]$ 上，曲线 $y = \frac{3}{x}$ 位于直线 $y = \frac{x}{3}$ 的上方（例如在 $x=1$ 处，$\frac{3}{1}=3$，$\frac{1}{3}\approx0.333$；在 $x=3$ 处，$\frac{3}{3}=1$，$\frac{3}{3}=1$，两者相等），因此面积元素为 $\left(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}\right) dx$。面积计算公式为： $$ S_{\text{右}} = \int_{1}^{3} \left( \frac{3}{x} - \frac{x}{3} \right) dx. $$ 将积分拆分为两个部分： $$ S_{\text{右}} = \int_{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx - \int_{1}^{3} \frac{x}{3} \, dx. $$ 计算第一个积分： $$ \int_{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx = 3 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx = 3 \left[ \ln x \right]_{1}^{3} = 3 (\ln 3 - \ln 1) = 3 \ln 3. $$ 计算第二个积分： $$ \int_{1}^{3} \frac{x}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{2} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}. $$ 因此， $$ S_{\text{右}} = 3 \ln 3 - \frac{4}{3}. $$ 这就是右边部分的面积。

本步骤将前两步求得的面积相加，得到所求平面图形的总面积。 第一步求得的面积为 $S_1 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\ln 3$，第二步求得的面积为 $S_2 = 3\ln 3 - \frac{4}{3}$。 将两部分相加： $$ S = S_1 + S_2 = \left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\ln 3\right) + \left(3\ln 3 - \frac{4}{3}\right) $$ 合并同类项： - 常数项：$\frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$ - 对数项：$-\frac{1}{3}\ln 3 + 3\ln 3 = \left(3 - \frac{1}{3}\right)\ln 3 = \frac{8}{3}\ln 3$ 因此，总面积 $S = \frac{8}{3}\ln 3$。 **结果验证**： 由于 $\ln 3 > 0$，面积 $S = \frac{8}{3}\ln 3 > 0$，符合面积的非负性。同时，该结果形式简洁，与题目中曲线围成图形的几何特征一致，可以确认计算正确。 最终答案为 $\boxed{\frac{8}{3}\ln 3}$。