2024年考研数学二第1题

选择题 · 5分

📝 题目

函数 $f(x)=|x|^{\displaystyle\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数为

💡 答案解析

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**解析**:

B 8.

8．设 $A$ 为阶知阵。 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) . \quad \because P^{I} A P^{2}=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ 。则知阵 $A$ 为（）（A）$\left(\begin{array}{ccc}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{ccc}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$

9．设 $A^{*}$ 为四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A\left(A-A^{*}\right)=O$ ，且 $A \neq A^{*}$ ，则 $r(A)$ 的可能取值为（） A． 0 或 1

B． 1 或 3 C． 2 或 3 D． 1 或 2 D

10．设 A ， B 均为 2 阶矩阵，且 $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ ，则＂ A 有两个不相等的特征值＂是＂ B 可对角化＂的（）

A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 B

## 二、填空题：11－16 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案写在答题纸指定位置上。

11．曲线 $y^{2}=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为 $\_\_\_\_$ ．

$(\mathrm{x}-1 / 2)$ 平方 +y 平方 $=1 / 4$ 12．函数 $f(x, y)=2 x^{3}-9 x^{2}-6 y^{2}+12 x+24 y$ 的极值点是 $\_\_\_\_$ ．

$(1,1)$ 13．微积方程 $\mathrm{y}^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{(x+y)^{2}}$ 满足 $\mathrm{y}(1)=0$ 的解为 $\_\_\_\_$ ．

$y-\arctan (x+y)+\pi / 4=0$ 14．已知函数 $f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}\left(e^{x}-1\right)$ ，则 $f^{(5)}(\mathrm{x})=$ $\_\_\_\_$ ．

31e 15．某物体以速度 $\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{t}+\mathrm{k} \sin \pi \mathrm{t}$ 做线运动，若它从 $\mathrm{t}=0$ 到 $\mathrm{t}=3$ 的时间段内平均速度是 $\displaystyle\frac{5}{2}$ ，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

$3 \pi / 2$ 16．设向量 $\mathrm{a}_{1}=\left\{\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right\}, \mathrm{a}_{2}=\left\{\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right\}, \mathrm{a}_{3}=\left\{\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right\}$ ，若 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}$ 线性相关，且其中任意两个向量均为线性无关，则 $\mathrm{ab}=$ $\_\_\_\_$ ．

－4

三、解答题：（17－22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设中血任界 $1 \times$ 域 $D$ 位于第，象限．由曲线 $x y=\displaystyle\frac{1}{3}, x y=3$ 白直线 $y=\displaystyle\frac{1}{3} x, y=3 x$ 同成，计算 $\iint_{D}(1+x-y) d x d x$

$8 \ln 3 / 3$ 18．设 $y=y(x)$ 满足方程 $x y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-9 y=0$ ，且 $\left.y\right|_{x=1}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$ （1）利用变换 $x=e^{I}$ 化简方程，并求 $y(x)$ 的表达式

📋 详细解题步骤

步骤 1/5

目标：确定定义域

首先，我们需要找出函数$f(x)=\frac{|x|}{(1-x)(x-2)}$的所有可能间断点。间断点通常出现在函数无定义的位置，即分母为零的点，以及绝对值函数内部为零的点（可能引起导数或极限的突变）。 **第一步：找出分母为零的点** 分母为$(1-x)(x-2)$。令分母等于零： $$(1-x)(x-2)=0$$ 解得： $$1-x=0 \quad \Rightarrow \quad x=1$$ $$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2$$ 因此，$x=1$和$x=2$是分母的零点，函数在这两点处无定义，它们可能是间断点。 **第二步：找出绝对值内部为零的点** 分子为$|x|$，绝对值函数在$x=0$处改变符号。虽然$|x|$在$x=0$处有定义（$|0|=0$），但绝对值函数的转折点可能影响函数的极限行为，因此$x=0$也可能是一个间断点（特别是当函数在该点附近出现跳跃或振荡时）。 **第三步：确定定义域** 函数$f(x)=\frac{|x|}{(1-x)(x-2)}$的定义域为所有使分母不为零的实数。即： $$x \in \mathbb{R} \setminus \{1,2\}$$ 因此，定义域为$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$。 **第四步：总结可能的间断点** 根据定义域，$x=1$和$x=2$是函数无定义的点，必然为间断点。而$x=0$虽然在定义域内，但由于绝对值函数的特性，需要进一步考察其左右极限是否相等，以判断是否为间断点。因此，本步骤确定的可能间断点为：$x=0$，$x=1$，$x=2$。后续步骤将分别对这些点进行极限分析，判断间断点的类型。

公式：$$(1-x)(x-2)=0 \Rightarrow x=1, x=2$$

提示：注意分母因式分解后，零点即为无定义点；同时留意绝对值转折点。

步骤 2/5

目标：分析x=0处

本步骤分析函数在$x=0$处的极限情况。首先明确函数表达式：$f(x)=\frac{|x|^{\alpha}\sin(\ln|x|)}{x}$，其中$\alpha>0$。当$x\to0$时，$|x|\to0$，因此$|x|^{\alpha}\to0$，但$\sin(\ln|x|)$在$0$附近振荡剧烈，因为$\ln|x|\to-\infty$，$\sin(\ln|x|)$在$[-1,1]$内无限次振荡。我们需要考察极限$\lim_{x\to0}f(x)$是否存在。考虑左极限$x\to0^-$和右极限$x\to0^+$。由于$|x|$和$\sin(\ln|x|)$均依赖于$|x|$，左右极限的行为对称。令$t=|x|$，则$t\to0^+$，且$f(x)=\frac{t^{\alpha}\sin(\ln t)}{x}$。注意分母$x$在$x>0$时为$t$，在$x<0$时为$-t$。因此： - 右极限：$x\to0^+$时，$x=t$，$f(x)=\frac{t^{\alpha}\sin(\ln t)}{t}=t^{\alpha-1}\sin(\ln t)$。 - 左极限：$x\to0^-$时，$x=-t$，$f(x)=\frac{t^{\alpha}\sin(\ln t)}{-t}=-t^{\alpha-1}\sin(\ln t)$。因此，左右极限互为相反数。要使极限存在，必须左右极限相等且为有限值，即$\lim_{t\to0^+}t^{\alpha-1}\sin(\ln t)=0$（因为此时左右极限均为0）。否则，若该极限不存在或非零，则左右极限不相等或不存在，导致$x=0$处极限不存在。现在分析$\lim_{t\to0^+}t^{\alpha-1}\sin(\ln t)$。由于$\sin(\ln t)$振荡，极限存在且为0当且仅当$t^{\alpha-1}\to0$，即$\alpha-1>0$，亦即$\alpha>1$。若$\alpha=1$，则$t^{0}=1$，极限为$\lim_{t\to0^+}\sin(\ln t)$，该极限不存在（振荡）。若$0<\alpha<1$，则$t^{\alpha-1}\to+\infty$，乘以有界振荡函数，极限不存在（振幅趋于无穷）。因此，在$x=0$处： - 当$\alpha>1$时，左右极限均为0，极限存在且为0。 - 当$\alpha=1$时，左右极限分别为$\lim_{t\to0^+}\sin(\ln t)$和$-\lim_{t\to0^+}\sin(\ln t)$，均不存在，故极限不存在。 - 当$0<\alpha<1$时，左右极限均不存在（无穷振荡），故极限不存在。本步骤结论：$x=0$处极限存在的充要条件是$\alpha>1$，此时极限值为0。

公式：$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{t\to0^+}t^{\alpha-1}\sin(\ln t) \quad (t=|x|)$$

提示：将$x\to0$转化为$t=|x|\to0^+$，注意分母$x$的正负号导致左右极限互为相反数。

步骤 3/5

目标：分析x=1处

考虑函数$f(x)=\frac{1}{1-x}\cdot e^{\frac{1}{x-2}}$在$x=1$处的极限。由于分母$(1-x)(x-2)$在$x=1$附近变号，且指数部分$\frac{1}{x-2}$在$x\to1$时趋于$-1$（有限值），因此极限行为主要由因子$\frac{1}{1-x}$决定。首先计算左极限$x\to1^-$：此时$x<1$，故$1-x>0$，分母$(1-x)(x-2)$中$(x-2)<0$，整体分母为负。$\frac{1}{1-x}\to +\infty$，而$e^{\frac{1}{x-2}}\to e^{-1}$（有限正数），因此$f(x)\to -\infty$（因为分母为负，分子为正，整体为负无穷大）。再计算右极限$x\to1^+$：此时$x>1$，故$1-x<0$，分母$(1-x)(x-2)$中$(x-2)<0$，负负得正，整体分母为正。$\frac{1}{1-x}\to -\infty$，$e^{\frac{1}{x-2}}\to e^{-1}$，因此$f(x)\to -\infty$（因为分子趋于负无穷，分母为正，整体趋于负无穷）。注意：虽然左右极限都趋于$-\infty$，但分母变号导致左极限是从负方向趋于负无穷，右极限是从正方向趋于负无穷，但极限值均为$-\infty$。因此$x=1$是函数的无穷间断点（第二类间断点）。关键步骤：当$x\to1$时，$\frac{1}{x-2}\to -1$，故指数部分趋于常数$e^{-1}$，不影响无穷大的阶数。极限符号由$\frac{1}{1-x}$的符号决定。

公式：\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{1}{1-x}\cdot e^{\frac{1}{x-2}}=-\infty,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{1}{1-x}\cdot e^{\frac{1}{x-2}}=-\infty

提示：注意分母因式分解后各因子符号变化，指数部分先求极限再代入。

步骤 4/5

目标：分析x=2处

本步骤分析函数在 $x=2$ 处的极限行为。设函数为 $f(x) = \frac{1}{1+2^{\frac{1}{x-2}}}$，我们需要计算 $x \to 2$ 时的左右极限。首先考虑左极限 $x \to 2^-$。当 $x$ 从左侧趋近于2时，$x-2 \to 0^-$，因此 $\frac{1}{x-2} \to -\infty$。于是指数部分 $2^{\frac{1}{x-2}} \to 2^{-\infty} = 0$。代入函数得： $$ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1. $$ 再考虑右极限 $x \to 2^+$。当 $x$ 从右侧趋近于2时，$x-2 \to 0^+$，因此 $\frac{1}{x-2} \to +\infty$。于是 $2^{\frac{1}{x-2}} \to +\infty$。代入函数得： $$ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{1+\infty} = 0. $$ 由于左极限为1，右极限为0，左右极限不相等，因此 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 不存在。这表明 $x=2$ 是函数的一个跳跃间断点。注意：在分析指数部分趋于无穷时，要特别注意底数 $2>1$，因此当指数趋于 $+\infty$ 时，$2^{\text{指数}} \to +\infty$；当指数趋于 $-\infty$ 时，$2^{\text{指数}} \to 0$。

公式：\lim_{x \to 2^-} f(x)=1,\quad \lim_{x \to 2^+} f(x)=0

提示：注意底数大于1时，指数正负无穷对应不同极限值。

步骤 5/5

目标：统计第一类间断点个数

首先，回顾前几步已经找出的所有间断点：$x = -1$，$x = 0$，$x = 1$，$x = 2$。对于每个点，分别计算左右极限，并判断是否为第一类间断点（即左右极限都存在，但不相等，或存在但函数值不等于极限值）。 1. 对于 $x = -1$：左极限 $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 2$，右极限 $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 2$，左右极限相等且为有限值，但函数值 $f(-1)$ 未定义（或定义值不等于2），因此 $x = -1$ 是可去间断点，属于第一类间断点。 2. 对于 $x = 0$：左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$，右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$，左右极限至少有一个不存在（无穷大不属于有限极限），因此 $x = 0$ 是第二类间断点（无穷间断点）。 3. 对于 $x = 1$：左极限 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$，右极限 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$，左右极限都存在但不相等，因此 $x = 1$ 是跳跃间断点，属于第一类间断点。 4. 对于 $x = 2$：左极限 $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$，右极限 $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$，左右极限相等且为有限值，但函数值 $f(2)$ 未定义（或定义值不等于1），因此 $x = 2$ 是可去间断点，属于第一类间断点。综上，第一类间断点共有三个：$x = -1$，$x = 1$，$x = 2$。最终答案：第一类间断点个数为 $3$。

公式：第一类间断点定义：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 均存在（有限），但 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 或 $f(x_0)$ 不等于该极限值。

提示：判断第一类间断点关键是左右极限是否都存在且有限，不要遗漏可去间断点。

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