2024年考研数学二第4题

首先，我们需要明确数列发散的含义。在数学分析中，数列发散是指数列不收敛于任何有限极限。发散的情形主要包括： - 趋于无穷大（$+\infty$ 或 $-\infty$），例如 $a_n = n$； - 振荡无极限，例如 $a_n = (-1)^n$； - 部分子列趋于不同极限，例如 $a_n = \sin\frac{n\pi}{2}$。 本题的解题方向是：对于每个选项所描述的新数列（由原数列经过某种运算得到），我们需要判断：是否对于任意发散的原数列 $\{a_n\}$，该新数列都必然发散？如果存在某个发散的原数列，使得新数列收敛，那么该选项就是错误的（即不能保证新数列一定发散）。因此，解题策略是对每个选项尝试构造反例：找一个发散的原数列 $\{a_n\}$，使得经过选项中的运算后得到的新数列收敛。 例如，若选项为“$\{a_n^2\}$ 发散”，我们可以考虑 $a_n = (-1)^n$，该数列发散（振荡），但 $a_n^2 = 1$ 是常数列，收敛于1，因此该选项不成立。 在后续步骤中，我们将对每个选项逐一分析，构造合适的反例，从而判断哪个选项是正确结论（即对于任意发散的原数列，新数列一定发散）。

选项(A)的命题为：若数列$\{a_n\}$发散，则数列$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$也发散。要检验该命题是否必然成立，即判断是否存在发散数列$\{a_n\}$使得$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛。 首先尝试构造反例。考虑最简单的发散数列$a_n = n$，当$n \to \infty$时，$a_n \to +\infty$，则$a_n + \frac{1}{a_n} = n + \frac{1}{n} \to +\infty$，新数列发散，不是反例。 再考虑振荡发散数列$a_n = (-1)^n n$，此时$a_n$无界且不趋于无穷，但$a_n + \frac{1}{a_n} = (-1)^n n + \frac{1}{(-1)^n n} = (-1)^n n + \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n\left(n + \frac{1}{n}\right)$。由于$n + \frac{1}{n} \to +\infty$，而$(-1)^n$在$1$和$-1$之间振荡，因此$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$的绝对值趋于无穷，且符号交替变化，故该数列发散，不是反例。 进一步尝试构造可能使新数列收敛的发散数列。假设$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛于某个实数$L$，则$a_n$应满足$a_n + \frac{1}{a_n} \to L$。解方程$x + \frac{1}{x} = L$得$x^2 - Lx + 1 = 0$，其根为$x = \frac{L \pm \sqrt{L^2 - 4}}{2}$。若$L^2 < 4$，则$x$为复数，无实数解；若$L^2 = 4$，则$x = \pm 1$；若$L^2 > 4$，则$x$有两个不同的实根。因此，若$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛，则$a_n$只能趋于有限个值（至多两个），从而$a_n$有界，这与$a_n$发散（无界或振荡）矛盾。 更严格地，若$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛，则存在$M>0$使得$\left|a_n + \frac{1}{a_n}\right| \le M$。由均值不等式，当$a_n>0$时，$a_n + \frac{1}{a_n} \ge 2$；当$a_n<0$时，$a_n + \frac{1}{a_n} \le -2$。因此$\left|a_n + \frac{1}{a_n}\right| \ge 2$，故$M \ge 2$。但更重要的是，由$\left|a_n + \frac{1}{a_n}\right| \le M$可推出$|a_n|$有界：若$|a_n|$无界，则$\left|a_n + \frac{1}{a_n}\right| \ge |a_n| - \frac{1}{|a_n|} \to +\infty$，矛盾。因此$a_n$有界，从而不可能发散（发散包括无界或振荡无极限，但有界数列可能收敛也可能振荡，但此处若$a_n$有界且$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛，则$a_n$本身必收敛，证明略）。 综上，未找到使$\left\{a_n + \frac{1}{a_n}\right\}$收敛的发散数列反例，因此选项(A)的命题似乎成立，但需进一步严格证明或确认。

选项(C)的结论是：若数列 $\{a_n\}$ 发散，则数列 $\{e^{a_n} + e^{-a_n}\}$ 也必然发散。为了检验这一结论是否成立，我们尝试构造一个反例。 取数列 $a_n = (-1)^n$，即 $a_1 = -1,\, a_2 = 1,\, a_3 = -1,\, a_4 = 1,\dots$。该数列在两个值 $-1$ 和 $1$ 之间来回振荡，显然不收敛于任何有限数，因此 $\{a_n\}$ 发散。 现在考虑新数列 $b_n = e^{a_n} + e^{-a_n}$。当 $n$ 为奇数时，$a_n = -1$，则 $b_n = e^{-1} + e^{1} = e + e^{-1}$；当 $n$ 为偶数时，$a_n = 1$，则 $b_n = e^{1} + e^{-1} = e + e^{-1}$。因此对所有正整数 $n$，$b_n$ 恒等于常数 $e + e^{-1}$。常数数列显然是收敛的（收敛于 $e + e^{-1}$）。 这个反例表明：存在一个发散的原数列 $\{a_n\}$，使得新数列 $\{e^{a_n} + e^{-a_n}\}$ 收敛。因此选项(C)的结论“必然发散”是错误的，即(C)不是必然发散。故排除选项(C)。

选项(D)为：数列 $\{e^{a_n} - e^{-a_n}\}$ 收敛。我们证明该数列必然发散。 假设 $\{e^{a_n} - e^{-a_n}\}$ 收敛于某个实数 $L$，即 $\lim_{n\to\infty} (e^{a_n} - e^{-a_n}) = L$。令 $x_n = e^{a_n}$，则 $x_n > 0$，且 $e^{a_n} - e^{-a_n} = x_n - \frac{1}{x_n}$。于是有 $\lim_{n\to\infty} \left(x_n - \frac{1}{x_n}\right) = L$。 由极限定义，对 $\varepsilon = 1$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\left|x_n - \frac{1}{x_n} - L\right| < 1$，从而 $|x_n - \frac{1}{x_n}| < |L| + 1$，即 $x_n - \frac{1}{x_n}$ 有界。由此可推出 $x_n$ 有界：若 $x_n$ 无上界，则 $x_n - \frac{1}{x_n} \to +\infty$，矛盾；若 $x_n$ 无正下界（即趋于0），则 $x_n - \frac{1}{x_n} \to -\infty$，也矛盾。故存在 $M>0$ 使得 $0 < x_n \leq M$ 且 $x_n \geq 1/M$（否则 $x_n - 1/x_n$ 无界）。 进一步，由 $x_n - \frac{1}{x_n} \to L$，解方程 $x - \frac{1}{x} = L$ 得 $x = \frac{L \pm \sqrt{L^2+4}}{2}$。由于 $x_n > 0$，唯一可能的极限为 $c = \frac{L + \sqrt{L^2+4}}{2} > 0$。下面证明 $x_n \to c$。 考虑函数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$，在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续。由 $f(x_n) \to L$ 及 $f(c)=L$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|f(x)-L|<\delta$ 时 $|x-c|<\varepsilon$（因为 $f$ 连续且严格单调，其反函数连续）。而 $f(x_n) \to L$，故存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|f(x_n)-L|<\delta$，从而 $|x_n-c|<\varepsilon$，即 $x_n \to c$。 于是 $e^{a_n} = x_n$ 收敛于正常数 $c$，取对数得 $a_n = \ln x_n \to \ln c$，这与已知 $\{a_n\}$ 发散矛盾。因此假设不成立，$\{e^{a_n} - e^{-a_n}\}$ 必然发散。 综上，四个选项中只有(D)是必然发散的，故正确答案为(D)。