中册 4.1 不定积分计算 第24题
📝 题目
24．求下列不定积分．
（1） $\int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\int$ max $\{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\mathrm{e}^{\text {max }\{1, x\}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}, x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{x}, x>1 .\end{array}\right.$ 则 $\int \mathrm{e}^{\text {max }\{1, x\}} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e} x+C_{1}, x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{x}+C_{2}, x>1 .\end{array}\right.$
记 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ex}+C_{1}, x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{x}+C_{2}, x>1,\end{array}\right.$ 因为 $F(x)$ 必须满足连续条件，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} F(x)=F(1)=\mathrm{e}+C_{1},
$$
即 $C_{2}=C_{1}$ 。令 $C_{1}=C$ ，于是 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ex}+C, x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{x}+C, x>1 .\end{array}\right.$
（2）因为 $\displaystyle \max \left\{1, x^{2}\right\}=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x<-1, \\ 1,-1 \leqslant x \leqslant 1, \text { 所以 } \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, x<-1, \\ x+C_{2},-1 \leqslant x \leqslant 1, \\ x^{2}, x>1,\end{array} \text { ，}\right. \\ \frac{x^{3}}{3}+C_{3}, x>1 .\end{array}\right.$
记 $\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, x<-1 \\ x+C_{2},-1 \leqslant x \leqslant 1 \\ \frac{x^{3}}{3}+C_{3}, x>1\end{array}\right.$ ，因为 $F(x)$ 必须满足连续条件。所以
$$
\lim _{x \rightarrow-1^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow-1} F(x), \lim _{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 1} F(x)
$$
即 $\displaystyle -1+C_{2}=-\frac{1}{3}+C_{1}, 1+C_{2}=\frac{1}{3}+C_{3}$ ．于是 $\displaystyle C_{2}=\frac{2}{3}+C_{1}, C_{3}=\frac{4}{3}+C_{1}$ 。令 $C=C_{1}$ ，则
$$
\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}
\frac{x^{3}}{3}+C, x<-1 \\
x+\frac{2}{3}+C,-1 \leqslant x \leqslant 1 \\
\frac{x^{3}}{3}+\frac{4}{3}+C, x>1
\end{array}\right.
$$
（3）因为 $\max \{2,|x|\}=\left\{\begin{array}{l}-x, x<-2 \\ 2,-2 \leqslant x \leqslant 2 \\ x, x>2,\end{array}\right.$ ，所以 $\displaystyle \int \max \{2,|x|\} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}, x<-2, \\ 2 x+C_{2},-2 \leqslant x \leqslant 2, \\ \frac{x^{2}}{2}+C_{3}, x>2 .\end{array}\right.$
记 $\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}, x<-2, \\ 2 x+C_{2},-2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \frac{x^{2}}{2}+C_{3}, x>2 .\end{array}\right.$ 因为 $F(x)$ 必须满足连续条件，故
$$
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow-2^{-}} F(x), \lim _{x \rightarrow 2^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} F(x)
$$
即 $-4+C_{2}=-2+C_{1}, 4+C_{2}=2+C_{3}$ ，记 $C_{1}=C$ ，则 $C_{2}=2+C, C_{3}=4+C$ ．于是
$$
\int \max \{2,|x|\} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}
-\frac{x^{2}}{2}+C, x<-2 \\
2 x+2+C,-2 \leqslant x \leqslant 2 \\
\frac{x^{2}}{2}+4+C, x>2
\end{array}\right.
$$
（4）类似（2），可求得 $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x^{2}}{2}+C, x<-1, \\ x+\frac{1}{2}+C,-1 \leqslant x \leqslant 1, \\ \frac{x^{2}}{2}+1+C, x>1 .\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分段函数表示
首先，根据定义将被积函数写成分段形式。对于（1），$e^{\max\{1,x\}} = \begin{cases} e, & x \leq 1 \\ e^x, & x > 1 \end{cases}$。
提示：注意分段点处函数值的确定，确保分段正确。
步骤 2/8
目标：分段积分
对每一段分别积分：$\int e^{\max\{1,x\}} dx = \begin{cases} ex + C_1, & x \leq 1 \\ e^x + C_2, & x > 1 \end{cases}$。
公式：$\int e^x dx = e^x + C$
提示：每段积分常数不同，注意区分。
步骤 3/8
目标：连续性条件确定常数关系
原函数在分段点 $x=1$ 处必须连续，因此 $\lim_{x\to 1^-} F(x) = \lim_{x\to 1^+} F(x) = F(1)$。计算得 $e \cdot 1 + C_1 = e^1 + C_2$，即 $C_2 = C_1$。令 $C = C_1$，则 $F(x) = \begin{cases} ex + C, & x \leq 1 \\ e^x + C, & x > 1 \end{cases}$。
提示：连续性条件要求左右极限相等，且等于函数值。
步骤 4/8
目标：类似处理（2）
对于（2），$\max\{1,x^2\} = \begin{cases} x^2, & x < -1 \\ 1, & -1 \leq x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$。积分得 $\int \max\{1,x^2\} dx = \begin{cases} \frac{x^3}{3} + C_1, & x < -1 \\ x + C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3} + C_3, & x > 1 \end{cases}$。
公式：$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$, $\int 1 dx = x + C$
提示：注意分段点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处的连续性。
步骤 5/8
目标：连续性条件确定常数（2）
在 $x=-1$ 处：$\lim_{x\to -1^-} \frac{x^3}{3}+C_1 = -\frac{1}{3}+C_1$，$\lim_{x\to -1^+} x+C_2 = -1+C_2$，令相等得 $C_2 = \frac{2}{3}+C_1$。在 $x=1$ 处：$\lim_{x\to 1^-} x+C_2 = 1+C_2$，$\lim_{x\to 1^+} \frac{x^3}{3}+C_3 = \frac{1}{3}+C_3$，令相等得 $C_3 = \frac{4}{3}+C_1$。令 $C=C_1$，则 $F(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{3}+C, & x<-1 \\ x+\frac{2}{3}+C, & -1\leq x\leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}+C, & x>1 \end{cases}$。
提示：注意两个分段点都要处理，常数关系要正确。
步骤 6/8
目标：类似处理（3）
对于（3），$\max\{2,|x|\} = \begin{cases} -x, & x < -2 \\ 2, & -2 \leq x \leq 2 \\ x, & x > 2 \end{cases}$。积分得 $\int \max\{2,|x|\} dx = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+C_1, & x<-2 \\ 2x+C_2, & -2\leq x\leq 2 \\ \frac{x^2}{2}+C_3, & x>2 \end{cases}$。
公式：$\int x dx = \frac{x^2}{2}+C$, $\int 2 dx = 2x+C$
提示：注意 $|x|$ 的分段形式。
步骤 7/8
目标：连续性条件确定常数（3）
在 $x=-2$ 处：$\lim_{x\to -2^-} -\frac{x^2}{2}+C_1 = -2+C_1$，$\lim_{x\to -2^+} 2x+C_2 = -4+C_2$，令相等得 $C_2 = 2+C_1$。在 $x=2$ 处：$\lim_{x\to 2^-} 2x+C_2 = 4+C_2$，$\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{2}+C_3 = 2+C_3$，令相等得 $C_3 = 4+C_1$。令 $C=C_1$，则 $F(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+C, & x<-2 \\ 2x+2+C, & -2\leq x\leq 2 \\ \frac{x^2}{2}+4+C, & x>2 \end{cases}$。
提示：注意符号和计算准确性。
步骤 8/8
目标：类似处理（4）
对于（4），$\max\{1,|x|\} = \begin{cases} -x, & x < -1 \\ 1, & -1 \leq x \leq 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}$。积分并利用连续性可得 $\int \max\{1,|x|\} dx = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+C, & x<-1 \\ x+\frac{1}{2}+C, & -1\leq x\leq 1 \\ \frac{x^2}{2}+1+C, & x>1 \end{cases}$。
提示：与（2）类似，注意常数确定。
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