中册 4.2 定积分计算 第30题
📝 题目
30．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上严格递增且可导，$f(0)=0, g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数，证明： $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，$f(0)=0$ ．若 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 满足 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $x=f(y)$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x & =\int_{0}^{a}(a-y) \mathrm{d} f(y)=\left.(a-y) f(y)\right|_{0} ^{a}-\int_{0}^{a} f(y) \mathrm{d}(a-y) \\
& =\int_{0}^{a} f(y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
（2）在 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 两边对 $x$ 求导得
$$
y^{\prime}-y^{\prime} \frac{1}{2} \cos y=2 \text {, 即 } y^{\prime}=\frac{4}{2-\cos y}>0 \text {, }
$$
故由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格递增．
由（1）得
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x & =\int_{0}^{f(1)}\left(1-\frac{1}{2} y-\frac{1}{4} \sin y\right) \mathrm{d} y=\left.\left(y-\frac{1}{4} y^{2}+\frac{1}{4} \cos y\right)\right|_{0} ^{f(1)} \\
& =f(1)-\frac{1}{4} f^{2}(1)+\frac{1}{4} \cos (f(1))-\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
（3）由 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 得 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{f(x)}(x-g(t)) \mathrm{d} t=x f(x)-\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x f(x)-x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ．
记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)=x F^{\prime}(x)-x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 。解方程得 $F(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}+C\right)$ ，于是 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(x+1)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明积分等式（1）
令 $x = f(y)$，则 $dx = f'(y) dy$，且当 $x$ 从 $0$ 到 $f(a)$ 时，$y$ 从 $0$ 到 $a$。于是
\[
\int_{0}^{f(a)} (a - g(x)) dx = \int_{0}^{a} (a - y) f'(y) dy.
\]
利用分部积分法：
\[
\int_{0}^{a} (a - y) f'(y) dy = \left. (a - y) f(y) \right|_{0}^{a} - \int_{0}^{a} f(y) d(a - y) = 0 - 0 + \int_{0}^{a} f(y) dy = \int_{0}^{a} f(x) dx.
\]
因此等式成立。
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $g(x)$ 是 $f$ 的反函数，即 $g(f(y)) = y$。
步骤 2/5
目标：证明隐函数严格递增（2）
方程 $y - \frac{1}{2} \sin y = 2x$ 两边对 $x$ 求导，得
\[
y' - \frac{1}{2} \cos y \cdot y' = 2,
\]
即 $y'(1 - \frac{1}{2} \cos y) = 2$，所以
\[
y' = \frac{2}{1 - \frac{1}{2} \cos y} = \frac{4}{2 - \cos y}.
\]
由于 $\cos y \leq 1$，故 $2 - \cos y \geq 1 > 0$，因此 $y' > 0$ 恒成立，所以 $y = f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上严格递增。
公式：隐函数求导法则
提示：注意 $\cos y$ 的取值范围，确保分母不为零。
步骤 3/5
目标：利用（1）的结论计算积分（2）
由（1）的结论，取 $a = 1$，则 $f(1)$ 满足 $f(1) - \frac{1}{2} \sin f(1) = 2$。于是
\[
\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{f(1)} (1 - g(x)) dx,
\]
其中 $g(x)$ 是 $f$ 的反函数。由原方程解出 $x = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin y$，即 $g(x) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin y$，其中 $y = f(x)$。代入得
\[
\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{f(1)} \left(1 - \left(\frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin y\right)\right) dy = \int_{0}^{f(1)} \left(1 - \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin y\right) dy.
\]
计算积分：
\[
\int_{0}^{f(1)} \left(1 - \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin y\right) dy = \left. \left( y - \frac{1}{4} y^2 - \frac{1}{4} \cos y \right) \right|_{0}^{f(1)} = f(1) - \frac{1}{4} f^2(1) - \frac{1}{4} \cos f(1) + \frac{1}{4}.
\]
注意原答案中符号有误，此处已更正。
公式：（1）中的积分等式
提示：注意反函数的表达式，以及积分变量替换时 $dx$ 与 $dy$ 的关系。
步骤 4/5
目标：建立关于 $f(x)$ 的积分方程（3）
已知 $\int_{0}^{f(x)} g(t) dt = x^2 e^x$，其中 $g$ 是 $f$ 的反函数。由（1）的结论，取 $a = x$，则
\[
\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{f(x)} (x - g(t)) dt = x f(x) - \int_{0}^{f(x)} g(t) dt = x f(x) - x^2 e^x.
\]
记 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$，上式化为
\[
F(x) = x F'(x) - x^2 e^x.
\]
公式：（1）中的积分等式
提示：注意 $a$ 是变量 $x$，且 $f(x)$ 是 $x$ 的函数。
步骤 5/5
目标：求解微分方程（3）
方程 $F(x) = x F'(x) - x^2 e^x$ 可化为 $x F'(x) - F(x) = x^2 e^x$，即
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{F(x)}{x} \right) = e^x \quad (x \neq 0).
\]
两边积分得 $\frac{F(x)}{x} = e^x + C$，所以 $F(x) = x(e^x + C)$。由 $f(0)=0$ 知 $F(0)=0$，代入得 $0 = 0 \cdot (1 + C)$，恒成立，$C$ 任意。但由 $f$ 可导且 $f(0)=0$，可确定 $C=0$？实际上，$F(x)=x(e^x+C)$，则 $f(x)=F'(x)=e^x+C + x e^x = e^x(x+1) + C$。由 $f(0)=0$ 得 $0 = 1 + C$，所以 $C = -1$。因此 $f(x) = e^x(x+1) - 1$。但原答案给出 $f(x)=e^x(x+1)$，可能忽略了常数项。检查：若 $f(x)=e^x(x+1)$，则 $f(0)=1$，与 $f(0)=0$ 矛盾。故正确答案应为 $f(x)=e^x(x+1)-1$。
公式：一阶线性微分方程的解法
提示：注意初始条件 $f(0)=0$ 用于确定常数，且 $x=0$ 处需单独处理。
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