中册 4.4 积分估值与积分不等式 第1题
📝 题目
1．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \geq 0$ ，如果 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，如果 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$\forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $x_{0} \in[a, b]$ 使 $f\left(x_{0}\right)
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不妨设 $\exists x^{\prime} \in(a, b)$ 使得 $f\left(x^{\prime}\right)=c>0$ 。由保号性，$\exists U\left(x^{\prime}, \delta\right) \subset[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(x) \geqslant \frac{1}{2} c>0$ ， $\forall x \in U\left(x^{\prime}, \delta\right)$ ．于是
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{x^{\prime}-\delta} f(x) \mathrm{d} x+\int_{x^{\prime}-\delta}^{x^{\prime}+\delta} f(x) \mathrm{d} x+\int_{x^{\prime}-\delta}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{x^{\prime}-\delta}^{x^{\prime}+\delta} \frac{c}{2} \mathrm{~d} x=c \delta>0
$$
（2）为（1）的逆否命题．可用反证法，类似（1）的推导证明．
（3）由（2）得 $f^{2}(x)=0$ ．从而 $f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）令 $F(x)=g(x)-f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．由（1）得证．
（5）令 $F(x)=g(x)-f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x) \geqslant 0, \int_{a}^{b} F(x) \mathrm{d} x=0$ ．由（2）得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明（1）：利用连续函数的保号性
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且不恒为0，存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0) > 0$。由连续函数的保号性，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \cap [a,b]$ 时，$f(x) \geq \frac{f(x_0)}{2} > 0$。于是积分 $\int_a^b f(x) dx \geq \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \frac{f(x_0)}{2} dx = f(x_0) \delta > 0$。
公式：若 $f$ 在 $x_0$ 连续且 $f(x_0)>0$，则存在邻域使 $f(x) > \frac{f(x_0)}{2}$
提示：注意 $x_0$ 可能在端点，此时邻域取单侧；但结论仍成立。
步骤 2/5
目标：证明（2）：由（1）的逆否命题直接得到
命题（1）等价于：若 $\int_a^b f(x) dx = 0$，则 $f(x)$ 恒为0。因为若存在某点 $f(x_0)>0$，则（1）推出积分大于0，矛盾。故 $f(x) \equiv 0$。
提示：注意逆否命题的逻辑：原命题为“连续且非负且不恒为0 ⇒ 积分>0”，其逆否为“积分=0 ⇒ 恒为0”。
步骤 3/5
目标：证明（3）：应用（2）于 $f^2(x)$
由于 $f(x)$ 连续，$f^2(x)$ 也连续且非负。由 $\int_a^b f^2(x) dx = 0$ 及（2）得 $f^2(x) \equiv 0$，从而 $f(x) \equiv 0$。
提示：注意 $f^2(x)$ 连续是因为 $f$ 连续且平方运算连续。
步骤 4/5
目标：证明（4）：构造辅助函数 $F(x)=g(x)-f(x)$
令 $F(x)=g(x)-f(x)$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x) \geq 0$。由条件存在 $x_0$ 使 $f(x_0)0$，故 $F(x)$ 不恒为0。由（1）得 $\int_a^b F(x) dx > 0$，即 $\int_a^b g(x) dx - \int_a^b f(x) dx > 0$，所以 $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$。
提示：注意 $F(x)$ 非负且不恒为0，直接应用（1）。
步骤 5/5
目标：证明（5）：构造辅助函数 $F(x)=g(x)-f(x)$ 并应用（2）
令 $F(x)=g(x)-f(x)$，则 $F(x)$ 连续且 $F(x) \geq 0$。由 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$ 得 $\int_a^b F(x) dx = 0$。由（2）得 $F(x) \equiv 0$，即 $f(x) \equiv g(x)$。
提示：注意（2）的条件是 $F(x) \geq 0$ 且积分=0，直接推出 $F(x) \equiv 0$。
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