中册 4.4 积分估值与积分不等式 第12题
📝 题目
12．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 4．1，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使
$$
f(x)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)
$$
于是
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-080.jpg?height=823&width=1264&top_left_y=1091&top_left_x=4234}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 4.1}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| & =\left|\int_{a}^{b} f^{\prime}(\xi)\left(x-\frac{a+b}{2}\right) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(\xi)\left(x-\frac{a+b}{2}\right) \mathrm{d} x\right| \\
& \leqslant M\left[\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}\left(\frac{a+b}{2}-x\right) \mathrm{d} x+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}\left(x-\frac{a+b}{2}\right) \mathrm{d} x\right]=\frac{M}{4}(b-a)^{2}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用拉格朗日中值定理
对于任意 $x \in [a, b]$，由拉格朗日中值定理，存在 $ξ$ 介于 $x$ 与 $ rac{a+b}{2}$ 之间，使得
$$f(x) - f\left(\frac{a+b}{2}\right) = f'(\xi)\left(x - \frac{a+b}{2}\right).$$
由于 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$，故 $f(x) = f'(\xi)\left(x - \frac{a+b}{2}\right)$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $ξ$ 依赖于 $x$，但后续只需用到 $|f'(\xi)| \leq M$。
步骤 2/7
目标：将积分表达式代入
将 $f(x)$ 的表达式代入积分：
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f'(\xi)\left(x - \frac{a+b}{2}\right) dx.$$
提示：注意这里 $ξ$ 是 $x$ 的函数，但积分变量是 $x$。
步骤 3/7
目标：利用绝对值不等式放缩
由绝对值不等式：
$$\left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq \int_a^b \left| f'(\xi)\left(x - \frac{a+b}{2}\right) \right| dx.$$
公式：$\left|\int f\right| \leq \int |f|$
提示：注意积分绝对值小于等于绝对值的积分。
步骤 4/7
目标：利用导数有界性
由于 $|f'(x)| \leq M$，故 $|f'(\xi)| \leq M$，因此
$$\left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq M \int_a^b \left| x - \frac{a+b}{2} \right| dx.$$
公式：条件 $|f'(x)| \leq M$
提示：注意 $ξ$ 在区间内，所以导数有界性成立。
步骤 5/7
目标：拆分积分区间
将积分区间按中点 $c = \frac{a+b}{2}$ 分成两段：
$$\int_a^b \left| x - c \right| dx = \int_a^c (c - x) dx + \int_c^b (x - c) dx.$$
提示：注意绝对值处理：当 $x \leq c$ 时 $|x-c|=c-x$，当 $x \geq c$ 时 $|x-c|=x-c$。
步骤 6/7
目标：计算两个定积分
计算：
$$\int_a^c (c - x) dx = \left[ c x - \frac{x^2}{2} \right]_a^c = \frac{(c-a)^2}{2},$$
$$\int_c^b (x - c) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - c x \right]_c^b = \frac{(b-c)^2}{2}.$$
由于 $c = \frac{a+b}{2}$，有 $c-a = b-c = \frac{b-a}{2}$，故每个积分等于 $\frac{(b-a)^2}{8}$。
公式：牛顿-莱布尼茨公式
提示：注意计算细节，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
两个积分之和为：
$$\frac{(b-a)^2}{8} + \frac{(b-a)^2}{8} = \frac{(b-a)^2}{4}.$$
因此
$$\left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq M \cdot \frac{(b-a)^2}{4} = \frac{(b-a)^2}{4} M.$$
提示：最终不等式方向正确，注意系数。
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