中册 4.4 积分估值与积分不等式 第37题
📝 题目
37．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上正值、连续，$m=\min _{[0,1]} f(x), M=\max _{[0,1]} f(x)$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 Schwarz 不等式有
$$
\int_{0}^{1}(\sqrt{f(x)})^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} \sqrt{f(x)} \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \mathrm{d} x\right)^{2}=1 \text {, 即 } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \geqslant 1 \text { 。 }
$$
下证： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \leqslant \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}$ ．
由于 $f(x)>0$ ，所以 $00$ ．
由 $\displaystyle (M+m)>f(x)+\frac{m M}{f(x)}$ 积分得
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{1}(M+m) \mathrm{d} x>\int_{0}^{1}\left(f(x)+\frac{m M}{f(x)}\right) \mathrm{d} x \\
& (M+m)>\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \frac{m M}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2 \sqrt{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{m M}{f(x)} \mathrm{d} x}
\end{aligned}
$$
即
$$
(M+m)^{2} \geqslant 4 m M \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x
$$
于是
即
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \leqslant \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用柯西-施瓦茨不等式得到下界
由柯西-施瓦茨不等式：
$$\int_0^1 (\sqrt{f(x)})^2 \,dx \cdot \int_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^2 \,dx \geq \left(\int_0^1 \sqrt{f(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \,dx\right)^2 = 1.$$
因此，
$$\int_0^1 f(x) \,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx \geq 1.$$
公式：柯西-施瓦茨不等式：$(\int a^2)(\int b^2) \geq (\int ab)^2$
提示：注意被积函数平方的形式，确保正确应用不等式。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并利用不等式
由于 $0 < m \leq f(x) \leq M$，构造 $F(x) = \frac{(f(x)-m)(M-f(x))}{f(x)}$。因为 $f(x)-m \geq 0$，$M-f(x) \geq 0$，且 $f(x)>0$，所以 $F(x) \geq 0$。展开得：
$$F(x) = \frac{(f(x)-m)(M-f(x))}{f(x)} = M + m - f(x) - \frac{mM}{f(x)} \geq 0.$$
因此，
$$M + m \geq f(x) + \frac{mM}{f(x)}.$$
提示：注意 $F(x)$ 的非负性，确保不等式方向正确。
步骤 3/5
目标：对不等式两边积分
对不等式 $M+m \geq f(x) + \frac{mM}{f(x)}$ 在 $[0,1]$ 上积分：
$$\int_0^1 (M+m) \,dx \geq \int_0^1 \left(f(x) + \frac{mM}{f(x)}\right) \,dx.$$
左边为 $M+m$，右边为 $\int_0^1 f(x) \,dx + mM \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx$。因此，
$$M+m \geq \int_0^1 f(x) \,dx + mM \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx.$$
提示：积分时注意常数 $mM$ 提出积分号。
步骤 4/5
目标：应用均值不等式得到乘积上界
由均值不等式，对正数 $A = \int_0^1 f(x) \,dx$ 和 $B = mM \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx$，有
$$A + B \geq 2\sqrt{AB}.$$
结合上一步不等式：
$$M+m \geq A+B \geq 2\sqrt{AB} = 2\sqrt{mM \int_0^1 f(x) \,dx \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx}.$$
两边平方得：
$$(M+m)^2 \geq 4mM \int_0^1 f(x) \,dx \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx.$$
公式：均值不等式：$a+b \geq 2\sqrt{ab}$（$a,b>0$）
提示：注意 $A$ 和 $B$ 均为正数，确保均值不等式适用。
步骤 5/5
目标：整理得到最终不等式
将上一步不等式两边除以 $4mM$（$m,M>0$），得到：
$$\int_0^1 f(x) \,dx \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx \leq \frac{(m+M)^2}{4mM}.$$
结合第一步的下界 $\geq 1$，原题得证。
提示：注意 $m,M>0$，除法安全。
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