中册 5.1 反常积分计算 第1题
📝 题目
1．计算下列反常积分．
（1） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $b=2$ ）；$a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $I=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ，则
$$
\begin{aligned}
I & =\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty}\left(-\left.\frac{1}{a} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x\right|_{0} ^{A}+\frac{b}{a} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-a x} \cos b x \mathrm{~d} x\right) \\
& =-\frac{b}{a^{2}} \lim _{A \rightarrow+\infty}\left(\left.\mathrm{e}^{-a x} \cos b x\right|_{0} ^{A}+b \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x\right)=\frac{b}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}} \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{b}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x=\frac{b}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}} I .
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle I=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x=\left.\lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+b^{2}}(b \sin b x-\cos b x)\right|_{0} ^{A}=\frac{1}{\mathrm{i}+b^{2}}$ ．
（3）因为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{a} \mathrm{e}^{-a x}\right|_{0} ^{+\infty}=\frac{1}{a}, \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos (2 x) \mathrm{d} x=\frac{a}{4+a^{2}}$ ．所以
$$
\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos (2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{4+a^{2}}\right) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立积分I的表达式
设 $I = \int_{0}^{+\infty} e^{-ax} \sin(bx) \, dx$，由于 $a>0$，积分收敛。
提示：注意反常积分收敛的条件：$a>0$。
步骤 2/7
目标：分部积分法
使用分部积分：令 $u = \sin(bx)$，$dv = e^{-ax}dx$，则 $du = b\cos(bx)dx$，$v = -\frac{1}{a}e^{-ax}$。于是
$$
\begin{aligned}
I &= \lim_{A\to+\infty} \left[ -\frac{1}{a}e^{-ax}\sin(bx) \right]_0^A + \frac{b}{a} \int_0^{+\infty} e^{-ax}\cos(bx) \, dx \\
&= 0 + \frac{b}{a} \int_0^{+\infty} e^{-ax}\cos(bx) \, dx.
\end{aligned}
$$
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意边界项：当 $x\to+\infty$ 时 $e^{-ax}\to0$，$\sin(bx)$ 有界，所以乘积趋于0；$x=0$ 时 $\sin(0)=0$，故边界项为0。
步骤 3/7
目标：再次分部积分
对 $\int_0^{+\infty} e^{-ax}\cos(bx) \, dx$ 再次分部积分：令 $u = \cos(bx)$，$dv = e^{-ax}dx$，则 $du = -b\sin(bx)dx$，$v = -\frac{1}{a}e^{-ax}$。于是
$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} e^{-ax}\cos(bx) \, dx &= \lim_{A\to+\infty} \left[ -\frac{1}{a}e^{-ax}\cos(bx) \right]_0^A - \frac{b}{a} \int_0^{+\infty} e^{-ax}\sin(bx) \, dx \\
&= \frac{1}{a} - \frac{b}{a} I.
\end{aligned}
$$
提示：边界项：$x\to+\infty$ 时 $e^{-ax}\cos(bx)\to0$；$x=0$ 时 $\cos(0)=1$，故 $[-\frac{1}{a}e^{-ax}\cos(bx)]_0^A \to \frac{1}{a}$。
步骤 4/7
目标：代入并解出I
将第二步结果代入第一步：$I = \frac{b}{a} \left( \frac{1}{a} - \frac{b}{a} I \right) = \frac{b}{a^2} - \frac{b^2}{a^2} I$。移项得 $I + \frac{b^2}{a^2} I = \frac{b}{a^2}$，即 $I \left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) = \frac{b}{a^2}$，所以 $I = \frac{b}{a^2 + b^2}$。
提示：注意代数运算不要出错，最终结果分母是 $a^2+b^2$。
步骤 5/7
目标：计算第二个积分
对于 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(bx) \, dx$，令 $a=1$，由（1）的结果，$\int_0^{+\infty} e^{-ax} \sin(bx) \, dx = \frac{b}{a^2+b^2}$，但这里需要余弦形式。实际上，由分部积分可得 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(bx) \, dx = \frac{1}{1+b^2}$。或者直接利用（1）的推导过程，将 $\sin$ 换为 $\cos$，可得类似结果。
提示：注意：$\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(bx) \, dx = \frac{1}{1+b^2}$，与（1）的结果形式类似但分子不同。
步骤 6/7
目标：计算第三个积分
利用三角恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$，则
$$
\int_0^{+\infty} e^{-ax} \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-ax} \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-ax} \cos(2x) \, dx.
$$
公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$
提示：注意恒等式的正确使用。
步骤 7/7
目标：计算两个简单积分
第一个积分：$\int_0^{+\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}$。第二个积分：由（1）的结果，令 $b=2$，得 $\int_0^{+\infty} e^{-ax} \cos(2x) \, dx = \frac{a}{a^2+4}$（注意：实际上（1）是正弦形式，但类似推导可得余弦形式为 $\frac{a}{a^2+b^2}$）。因此原积分 $= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{a^2+4} \right)$。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-ax} \cos(bx) \, dx = \frac{a}{a^2+b^2}$
提示：注意余弦积分的结果与正弦不同，分子是 $a$ 而不是 $b$。
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