\section*{解题过程：}
（1）因 $\displaystyle -\ln \cos \frac{1}{n}=-\ln \left(1-2 \sin ^{2} \frac{1}{2 n}\right) \sim \frac{1}{2 n^{2}}(n \rightarrow \infty), \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{2}}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\ln \cos \frac{1}{n}\right)$ 收敛，从而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ 收玫。
（2）由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(-\ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{\pi^{2}}{2 n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{2}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛。由比较判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ 收玫。
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}}\right)^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{p} \ln ^{p}\left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
$$
\ln ^{p}\left(\cos \frac{\pi}{n}\right)=\ln ^{p}\left(1+\cos \frac{\pi}{n}-1\right) \sim\left(\cos \frac{\pi}{n}-1\right)^{p} \sim \frac{(-1)^{p} \pi^{2 p}}{2^{p}} \frac{1}{n^{2 p}}
$$
其与 $\displaystyle \frac{1}{n^{2 p}}$ 是同阶无穷小．因此当 $\displaystyle p \leqslant \frac{1}{2}$ 时，原级数发散，当 $\displaystyle p>\frac{1}{2}$ 时，原级数收玫．
（4）由于 $\displaystyle 1-\cos \frac{x}{n} \sim x^{2} \frac{1}{2 n^{2}}$ ，而正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ 收敛。
（5）由于 $\displaystyle \left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha} \sim \frac{1}{2^{\alpha} n^{2 \alpha}}$ ，故当 $\displaystyle \alpha \leqslant \frac{1}{2}$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ 发散，当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{a}$ 收玫。
（6）由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n n \frac{1}{2 n^{2}}=\frac{1}{2}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ 发散。
（7）由 $\displaystyle \sin x=x-\frac{1}{3!} x^{3}+o\left(x^{4}\right)$ 得
$$
\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6 n^{3}}+o\left(\frac{1}{n^{4}}\right)\right)=\frac{1}{6 n^{3}}+o\left(\frac{1}{n^{4}}\right)
$$
所以 $\displaystyle \left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha} \sim\left(\frac{1}{6 n^{3}}\right)^{\alpha}=\frac{1}{6^{\alpha} n^{3 \alpha}}$ ．因为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}(p>1)$ 收玫，于是当且仅当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{3}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ 收敛．
（8）由于 $\displaystyle \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}}=\frac{1}{n^{p}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \sim \mathrm{e} \frac{1}{n^{p}}$ ，所以当 $p>1$ 时级数收玫，当 $0
0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\alpha+1}}$ 收玫，当 $\alpha \leqslant 0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\alpha+1}}$ 发散，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ 在 $\alpha>0$ 时收敛，在 $\alpha \leqslant 0$ 时发散．
（10） $\displaystyle \ln (n+1) \cdot \sin \frac{1}{n^{\beta}} \sim \frac{\ln (n+1)}{n^{\beta}}$ ．因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{\beta} \cdot \frac{\ln (n+1)}{n^{\beta}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln (n+1)=+\infty$ ，故当 $0<\beta \leqslant 1$ 时，由级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\beta}}$ 发散得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \cdot \sin \frac{1}{n^{\beta}}$ 发散；
当 $\beta>1$ 时，$\exists \alpha>0$ ，使 $\beta-\alpha>1$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{\beta-\alpha} \frac{\ln (n+1)}{n^{\beta}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha}}=0$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\beta-\alpha}}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \cdot \sin \frac{1}{n^{\beta}}$ 收玫。
（11）因为 $\displaystyle \frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{2 n^{2}},(n \rightarrow \infty)$ ，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，由比较判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛。
另解：由于 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n+\ln \frac{n}{n+1} \rightarrow c(n \rightarrow \infty)$ ，其中 $c$为欧拉常数，所以原级数收玫．
（12）由于
$$
\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}=\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{1-\frac{1}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[1+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2 n}\right)+o\left(\frac{1}{n}\right)\right]
$$
所以 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)} \sim \frac{1}{4} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ ，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ 收敛。