中册 6.1 数项级数的敛散性 第31题

\section*{解题过程：} （1）因 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\frac{\xi}{1+\xi}} \frac{1}{n} \leqslant \sqrt{\frac{1}{n}} \frac{1}{n}=\frac{1}{n \sqrt{n}}\left(0 \leqslant \xi \leqslant \frac{1}{n}\right)$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ 收玫，所以原级数收敛。 （2）因为 $\displaystyle 0<\int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x=\frac{\sin \xi}{1+\xi} \cdot \frac{\pi}{n} \leqslant \frac{\xi \pi}{n} \leqslant\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2}, 0 \leqslant \xi \leqslant \frac{\pi}{n}$ ，而且级数 $\displaystyle \sum \frac{\pi^{2}}{n^{2}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ 收敛。 （3）因 $\int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=\pi n^{2}$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ ．由莱布尼兹判别法得原级数收玫． 设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ ，则其收玫域为 $[-1,1) . \forall x \in[-1,1)$ ， 积分得 $$ f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}=\frac{1}{1-x} $$ 于是 $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}=\frac{f(-1)}{\pi}=-\frac{1}{\pi} \ln 2 . $$ （4）由已知条件知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_{n} ^{n+1}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．记 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} a_{k}$ ，则 $$ S_{2 n}=\sum_{k=1}^{2 n}(-1)^{k} a_{k}=-\sum_{k=1}^{2 n}\left(\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right)=-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2 k^{2}}+o\left(\frac{1}{k^{2}}\right)\right) . $$ 故 $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{2 n}$ 存在且有限．又 $$ S_{2 n+1}=S_{2 n}+(-1)^{2 n+1} a_{2 n+1}=S_{2 n}-a_{2 n+1}=S_{2 n}-\frac{1}{2 n+1} $$ 故 $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{2 n}$ ．因此 $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}$ 存在，从而 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收玫．又由于 $\displaystyle \left|(-1)^{n} a_{n}\right| \geqslant \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 发散，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n} a_{n}\right|$ 发散．级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫。