中册 6.1 数项级数的敛散性 第45题

\section*{解题过程：} 设 $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ，则 $b_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ．于是由 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛知：$\exists M_{1}>0,\left|S_{n}\right| \leqslant M_{1}, n=1,2, \cdots$ 。 由 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 绝对收敛知 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，于是 $\forall \varepsilon>0, \exists N_{1}>0, \forall n, m>N_{1}$ 有 $$ \left|a_{n}-a_{n-1}\right|+\left|a_{n+1}-a_{n}\right|+\cdots+\left|a_{m}-a_{m-1}\right|<\varepsilon \text {, 且 }\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \text {. } $$ 由 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫知：$\exists M_{2}>0,\left|a_{n}\right| \leqslant M_{2}, n=1,2, \cdots$ 。记 $M=\max \left\{M_{1}, M_{2}\right\}$ 。 又 $\left\{S_{n}\right\}$ 收敛，对上述 $\varepsilon>0, \exists N_{2}>0, \forall n>N_{2}, m>N_{2}$ 有 $$ \left|S_{n}-S_{m}\right|<\varepsilon $$ 取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}+1$ ，则当 $n, m>N$ 时， $$ \begin{aligned} & \left|a_{n} b_{n}+a_{n+1} b_{n+1}+\cdots+a_{m} b_{m}\right| \\ & =\left|a_{n}\left(S_{n}-S_{n-1}\right)+a_{n+1}\left(S_{n+1}-S_{n}\right)+\cdots+a_{m}\left(S_{m}-S_{m-1}\right)\right| \\ & \leqslant\left|S_{n}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+S_{n+1}\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+\cdots+S_{m-1}\left(a_{m}-a_{m-1}\right)+S_{m} a_{m}-S_{m} a_{n}+S_{m} a_{n}-S_{n-1} a_{n}\right| \\ & \leqslant M\left[\left|a_{n+1}-a_{n}\right|+\left|a_{n+2}-a_{n+1}\right|+\cdots+\left|a_{m}-a_{m-1}\right|\right]+M\left|a_{m}-a_{n}\right|+\left|a_{n} \| S_{m}-S_{n-1}\right|<3 M \varepsilon . \end{aligned} $$ 由柯西收敛准则，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。