中册 6.2 函数列一致收敛性 第19题
📝 题目
19．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $[a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, A]$ 上一致收敛，且 $b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $[a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $[a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $[a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\varphi(x)$ ，且 $y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$
💡 答案解析
解题分析：利用一致连续．
\section*{解题过程：}
（1）记 $D=[a, A] \times[b, B]$ ．因为 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，故 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上一致连续。从而 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0$ ，使得 $\forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta,\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x_{2}, y_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)\right|<\varepsilon$ ．
因为函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, A]$ 上一致收玫，所以对上述 $\delta>0, \exists N=N(\varepsilon)$ ，使得当 $m, n>N$时，$\forall x \in[a, A]$ 有 $\left|\varphi_{m}(x)-\varphi_{n}(x)\right|<\delta$ 。于是当 $m, n>N$ 时，$\forall x \in[a, A]$ 有
$$
\left|F_{m}(x)-F_{n}(x)\right|=\left|f\left(x, \varphi_{m}(x)\right)-f\left(x, \varphi_{n}(x)\right)\right|<\varepsilon
$$
根据 Cauchy 准则知函数列 $\left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, A]$ 上一致收敛。
（2）记 $D=[a, b] \times[c, d]$ ．因为 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，故 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上一致连续，从而 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0$ ，使得 $\forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta,\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x_{2}, y_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)\right|<\varepsilon$ ．
因为函数列 $\left\{\psi_{n}(x)\right\},\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，所以对上述 $\delta>0, \exists N>0$ ，使得当 $m, n>N$时，$\forall x \in[a, b]$ 有 $\left|\psi_{m}(x)-\psi_{n}(x)\right|<\delta,\left|\varphi_{m}(x)-\varphi_{n}(x)\right|<\delta$ 。
于是当 $m, n>N$ 时，$\forall x \in[a, b]$ 有
$$
\left|F_{m}(x)-F_{n}(x)\right|=\left|f\left(\varphi_{m}(x), \psi(x)\right)-f\left(\varphi_{n}(x), \psi(x)\right)\right|<\varepsilon
$$
根据 Cauchy 准则知函数列 $\left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫。
（3）记 $D=\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ ．因为 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，故 $f(x, y)$ 在 $D$上一致连续，从而 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，使得 $\forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta,\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x_{2}, y_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}\right)\right|<\varepsilon$ ．
函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛于 $\varphi(x)$ ，于是对上述 $\delta>0, \exists N=N(\varepsilon)$ ，使得当 $n>N$ 时，$\forall x \in\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 有 $\left|\varphi(x)-\varphi_{n}(x)\right|<\delta$ 。于是当 $m>N$ 时，$\forall x \in\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 有
$$
\left|\int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t-\int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t\right| \leqslant\left|\int_{x_{0}}^{x}\right| f\left(t, \varphi_{n}(t)\right)-f(t, \varphi(t))|\mathrm{d} t|<\varepsilon\left|x-x_{0}\right|<2 a \varepsilon
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用一致连续性
由于 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D=[a,A]\times[b,B]$ 上连续，因此 $f$ 在 $D$ 上一致连续。即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta=\delta(\varepsilon)>0$，使得对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 且 $|y_1-y_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|<\varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta,|y_1-y_2|<\delta$ 时 $|f(x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/7
目标：利用函数列的一致收敛性
因为 $\{\varphi_n(x)\}$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛，所以对上述 $\delta>0$，存在 $N$，当 $m,n>N$ 时，对所有 $x\in[a,A]$ 有 $|\varphi_m(x)-\varphi_n(x)|<\delta$。
公式：一致收敛：$\forall\delta>0,\exists N,\forall m,n>N,\forall x,|\varphi_m(x)-\varphi_n(x)|<\delta$
提示：注意一致收敛中 $N$ 与 $x$ 无关。
步骤 3/7
目标：估计函数列 $F_n(x)$ 的差
当 $m,n>N$ 时，对任意 $x\in[a,A]$，有 $|F_m(x)-F_n(x)|=|f(x,\varphi_m(x))-f(x,\varphi_n(x))|$。由于 $|x-x|=0<\delta$ 且 $|\varphi_m(x)-\varphi_n(x)|<\delta$，由一致连续性得 $|F_m(x)-F_n(x)|<\varepsilon$。
公式：$|F_m(x)-F_n(x)|<\varepsilon$
提示：注意这里 $x$ 坐标相同，只需考虑 $y$ 坐标的差。
步骤 4/7
目标：应用Cauchy一致收敛准则
由Cauchy一致收敛准则，函数列 $\{F_n(x)\}$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛。
公式：Cauchy准则：函数列一致收敛当且仅当 $\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall m,n>N,\forall x,|F_m(x)-F_n(x)|<\varepsilon$
提示：注意与逐点收敛的Cauchy准则区别：$N$ 与 $x$ 无关。
步骤 5/7
目标：（2）的证明：类似（1）但有两个函数列
记 $D=[a,b]\times[c,d]$，$f$ 一致连续。对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$。由于 $\{\varphi_n\}$ 和 $\{\psi_n\}$ 一致收敛，存在 $N$，当 $m,n>N$ 时，对所有 $x$ 有 $|\varphi_m(x)-\varphi_n(x)|<\delta$ 且 $|\psi_m(x)-\psi_n(x)|<\delta$。于是 $|F_m(x)-F_n(x)|=|f(\varphi_m(x),\psi_m(x))-f(\varphi_n(x),\psi_n(x))|<\varepsilon$，由Cauchy准则得证。
公式：$|F_m(x)-F_n(x)|<\varepsilon$
提示：注意两个函数列同时满足 $\delta$ 条件，需要取 $N$ 为两个 $N$ 的最大值。
步骤 6/7
目标：（3）的证明：利用一致连续和一致收敛
记 $D=[x_0-a,x_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]$，$f$ 一致连续。对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$。由于 $\{\varphi_n\}$ 一致收敛于 $\varphi$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x$ 有 $|\varphi_n(x)-\varphi(x)|<\delta$。于是 $|f(t,\varphi_n(t))-f(t,\varphi(t))|<\varepsilon$ 对所有 $t$ 成立。
公式：$|f(t,\varphi_n(t))-f(t,\varphi(t))|<\varepsilon$
提示：注意这里 $\varphi$ 是极限函数，且 $\varphi_n$ 一致收敛到 $\varphi$。
步骤 7/7
目标：估计积分差
对任意 $x\in[x_0-a,x_0+a]$，有 $\left|\int_{x_0}^x f(t,\varphi_n(t))dt - \int_{x_0}^x f(t,\varphi(t))dt\right| \le \left|\int_{x_0}^x |f(t,\varphi_n(t))-f(t,\varphi(t))| dt\right| < \varepsilon |x-x_0| \le 2a\varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意，极限成立。
公式：$\left|\int_{x_0}^x (f(t,\varphi_n(t))-f(t,\varphi(t)))dt\right| < 2a\varepsilon$
提示：注意积分限 $x$ 可能小于 $x_0$，绝对值处理要小心。
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