中册 6.2 函数列一致收敛性 第22题
📝 题目
22．证明下列结论．
（1）若函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．证明：若每个 $f_{n}(x)$ 都在 $I$ 上连续，则
$f(x)$ 在 $I$ 上连续．
（2）设 $u_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上处处收敛，而且一致收敛，求证：其和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
💡 答案解析
证明提示：这是教材中的定理，参看教材。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确一致收敛的定义
由一致收敛定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon/3$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in I: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/3$
提示：注意一致收敛中 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 2/6
目标：利用连续性估计差值
取定 $x_0 \in I$。由于 $f_n$ 在 $x_0$ 连续，对上述 $\varepsilon$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon/3$。
公式：$\exists \delta>0, \forall x\in I, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|<\varepsilon/3$
提示：这里 $n$ 是固定的（大于 $N$），$\delta$ 依赖于 $n$ 和 $x_0$。
步骤 3/6
目标：用三角不等式连接 $f$ 的差值
对任意 $x$ 满足 $|x - x_0| < \delta$，有
\begin{align*}
|f(x) - f(x_0)| &\leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\
&< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
\end{align*}
公式：$|f(x)-f(x_0)| \leq |f(x)-f_n(x)| + |f_n(x)-f_n(x_0)| + |f_n(x_0)-f(x_0)|$
提示：三角不等式是连续证明的关键，注意每一项的估计来源。
步骤 4/6
目标：得出 $f$ 在 $x_0$ 连续
因此对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。由 $x_0$ 的任意性，$f$ 在 $I$ 上连续。
提示：证明中 $\delta$ 依赖于 $n$，但 $n$ 是固定的，所以没问题。
步骤 5/6
目标：将级数转化为函数列
对于（2），考虑部分和函数列 $S_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$。由条件，每个 $u_n$ 连续，故 $S_n$ 连续。且 $\sum u_n$ 一致收敛于 $S(x)$，即 $S_n$ 一致收敛于 $S$。
公式：$S_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$
提示：注意部分和函数列的一致收敛性由级数一致收敛直接得到。
步骤 6/6
目标：应用（1）的结论
由（1）的结论，若函数列 $\{S_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S$，且每个 $S_n$ 连续，则 $S$ 在 $[a,b]$ 上连续。因此和函数 $S(x)$ 连续。
提示：直接套用（1）的结论，注意区间是闭区间。
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