中册 6.2 函数列一致收敛性 第43题
📝 题目
43．证明下列结论．
（1）假定函数 $u_{n}(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内单调增加，且 $u_{n}(x) \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ ．又假定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内逐点收敛，并且有上界．那么 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致收敛，并且 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$.
（2）设 $u_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非负且单调递增，$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x), x \in(0,+\infty), f(x)$ 有界，证明： $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 一致收玫于 $f(x)$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）分析：只要证明 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致收玫，并且极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$ 存在．
先证明： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$ 存在．
设 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x), S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ ，则 $\forall x \in(0,1), u_{n}(x) \leqslant S_{n}(x) \leqslant S(x), n=1,2, \cdots$ ．
因 $S(x)$ 在 $(0,1)$ 有上界，于是 $\exists M>0$ 使得 $0 \leqslant S(x) \leqslant M$ 。于是 $\forall n, u_{n}(x) \leqslant M, \forall x \in(0,1)$ ．因 $u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调增加，故 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$ 存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)=\sup _{(0,1)} u_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 。记 $\sup _{(0,1)} u_{n}(x)=M_{n}$ ．
再证：$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内二致收敛。
由于 $\forall x \in(0,1)$ 有 $0 \leqslant u_{n}(x) \leqslant M_{n}, n=1,2, \cdots$ ．为此只需证明 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 收敛即可．
因 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x) \leqslant S(x) \leqslant M, \forall x \in(0,1)$ ，令 $x \rightarrow 1^{-}$得
$$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S_{n}(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{k=1}^{n} u_{k}(x)=\sum_{k=1}^{n} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{k}(x)=\sum_{k=1}^{n} M_{k} \leqslant M, n=1,2, \cdots
$$
这表明 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 的部分和有上界。由正项级数的判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 收玫，从而由 $M$ 判别法得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致收敛。
最后证： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1} u_{n}(x)$ ．
因 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的余和在 $(0,1)$ 内一致收玫 0 ．从而 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N_{1}>0$ ，当 $n>N_{1}$ 时，$\forall x \in(0,1)$ 有 $\displaystyle \left|\sum_{k=n+1}^{\infty} u_{k}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ ．
因 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 收玫，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 的余和收敛于 0 ．对上述 $\varepsilon$ ，存在 $N_{2}>0$ ，当 $n>N_{2}$ 时有 $\displaystyle \left|\sum_{k=n+1}^{\infty} M_{k}\right|<\frac{\varepsilon}{3}$.
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}+1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S_{N}(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{k=1}^{N} u_{k}(x)=\sum_{k=1}^{N} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{k}(x)=\sum_{k=1}^{N} M_{k}$ 。对上述 $\varepsilon$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $1-\delta
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明极限存在
设 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$, $S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$。由 $u_n(x)\ge 0$ 得 $0\le u_n(x)\le S_n(x)\le S(x)$。已知 $S(x)$ 有上界，故存在 $M>0$ 使得 $0\le S(x)\le M$，从而 $0\le u_n(x)\le M$。由于 $u_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调增加，因此 $\lim_{x\to 1^-} u_n(x)$ 存在，记为 $M_n=\sup_{(0,1)} u_n(x)$。
公式：0\le u_n(x)\le S_n(x)\le S(x)\le M
提示：注意单调增加函数在端点极限存在，且等于上确界。
步骤 2/4
目标：证明一致收敛
由于 $0\le u_n(x)\le M_n$，只需证明 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛。由 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)\le M$，令 $x\to 1^-$ 得 $\sum_{k=1}^n M_k\le M$，即部分和有上界。由正项级数收敛判别法知 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛。根据 Weierstrass M-判别法，$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内一致收敛。
公式：\sum_{k=1}^n M_k\le M
提示：注意单调性保证极限与求和可交换。
步骤 3/4
目标：证明极限与求和可交换
由一致收敛性，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N_1$ 使得当 $n>N_1$ 时，$\left|\sum_{k=n+1}^\infty u_k(x)\right|<\varepsilon/3$ 对所有 $x\in(0,1)$ 成立。又 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛，存在 $N_2$ 使得当 $n>N_2$ 时，$\left|\sum_{k=n+1}^\infty M_k\right|<\varepsilon/3$。取 $N=\max\{N_1,N_2\}+1$，则 $\lim_{x\to 1^-} S_N(x)=\sum_{k=1}^N M_k$，故存在 $\delta>0$ 使得当 $1-\delta
公式：\left|\sum_{n=1}^\infty u_n(x)-\sum_{n=1}^\infty M_n\right|<\varepsilon
提示：注意一致收敛和级数收敛的余项估计。
步骤 4/4
目标：证明(2)中一致收敛
与(1)类似。设 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 有界，即存在 $M>0$ 使得 $0\le S(x)\le M$。由于 $u_n(x)$ 非负且单调递增，对任意 $n$，$u_n(x)\le S(x)\le M$，故 $\lim_{x\to +\infty} u_n(x)$ 存在，记为 $M_n$。由 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)\le M$，令 $x\to +\infty$ 得 $\sum_{k=1}^n M_k\le M$，故 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛。由 Weierstrass M-判别法，$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：\sum_{k=1}^n M_k\le M
提示：注意单调递增函数在无穷远处的极限存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。