中册 6.3 函数项级数 第30题
📝 题目
30．证明下列各题．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛 $(0
💡 答案解析
解题过程：
（1）$\forall x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|\frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}\right|<\frac{1}{n^{2} x^{2}} \leqslant \frac{1}{n^{2} a^{2}}$ ．而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} a^{2}}$ 收敛，由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛．
取 $\displaystyle x_{0}=\frac{1}{n} \in(0,+\infty), u_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2} \neq 0$ ，因此 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致收玫于 0 ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
$\forall x_{0} \in(0,+\infty), \exists a>0, b>0$ 使 $a0$ 使 $\displaystyle a
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明在闭区间[a,b]上一致收敛
对于任意 $x \in [a,b]$，其中 $0
公式：$\left|\frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}\right| < \frac{1}{n^{2} x^{2}} \leq \frac{1}{n^{2} a^{2}}$
提示：注意放缩时需保证分母不为零，且 $x$ 有正下界 $a$。
步骤 2/5
目标：证明在(0,+∞)上不一致收敛
取 $x_n = \frac{1}{n} \in (0,+\infty)$，则 $u_n(x_n) = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n^3 \cdot \frac{1}{n^3}} = \frac{1}{2} \neq 0$。因此 $u_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致收敛于0，故级数不一致收敛。
公式：$u_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2}$
提示：不一致收敛的证明常用取特殊点列的方法，注意点列必须属于区间。
步骤 3/5
目标：证明和函数在(0,+∞)上连续
对任意 $x_0 \in (0,+\infty)$，存在 $a,b$ 使得 $0
提示：连续性由局部一致收敛性保证，注意利用闭区间上的结果。
步骤 4/5
目标：证明第二个级数在[0,+∞)上不一致收敛
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^4}$，由于 $\sup_{x\in[0,+\infty)} \frac{x^2}{n^4} = +\infty$，该级数不一致收敛。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 一致收敛（与 $x$ 无关），因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+x^2}{n^4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^4}$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\sup_{x\in[0,+\infty)} \frac{x^2}{n^4} = +\infty$
提示：不一致收敛的证明可通过部分和函数列的不一致收敛性，注意两个级数和的收敛性。
步骤 5/5
目标：证明第二个和函数在[0,+∞)上连续
对任意 $x_0 \in [0,+\infty)$，取 $a=0$ 和 $b>x_0$，则对 $x \in [a,b]$，有 $\frac{n^2+x^2}{n^4} \leq \frac{n^2+b^2}{n^4}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+b^2}{n^4}$ 收敛，由 M-判别法知级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。又每一项连续，故和函数在 $[a,b]$ 上连续，从而在 $[0,+\infty)$ 上连续。
公式：$\frac{n^2+x^2}{n^4} \leq \frac{n^2+b^2}{n^4}$
提示：注意 $a$ 可以取0，因为 $x=0$ 时级数退化为 $\sum \frac{1}{n^2}$ 仍收敛。
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