中册 6.5 傅里叶级数 第23题
📝 题目
23．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，其傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \dot{x}+b_{n} \sin n x\right)$ 处处收玫．证明：其傅里叶级数处处收玫于 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\displaystyle S_{0}(x)=\frac{a_{0}}{2}, S_{n}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right), \sigma_{n}(x)=\frac{S_{0}(x)+S_{1}(x)+\cdots+S_{n}(x)}{n}$ 。
由条件知 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S(x)$ 。利用极限的性质得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{n}(x)=S(x)$ 。由费耶定理知 $\left\{\sigma_{n}(x)\right\}$ 一致收玫于 $f(x)$ 。所以 $S(x)=f(x)$ 。故 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)$ 收玫于 $f(x)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义部分和与算术平均
设 $S_0(x)=\frac{a_0}{2}$，$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)$，并定义算术平均 $\sigma_n(x)=\frac{S_0(x)+S_1(x)+\cdots+S_n(x)}{n+1}$。
公式：$\sigma_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n S_k(x)$
提示：注意算术平均的分母是 $n+1$ 而不是 $n$，因为从 $S_0$ 到 $S_n$ 共有 $n+1$ 项。
步骤 2/5
目标：利用部分和收敛性得到算术平均收敛性
由题设，傅里叶级数处处收敛，即 $\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x)$ 存在。根据极限的性质，若数列收敛，则其算术平均也收敛到同一极限，因此 $\lim_{n\to\infty} \sigma_n(x)=S(x)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sigma_n(x)=\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x)$
提示：这里用到数列极限的算术平均性质：若 $\lim a_n = L$，则 $\lim \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=L$。
步骤 3/5
目标：应用费耶定理
费耶定理指出：对于以 $2\pi$ 为周期的连续函数 $f(x)$，其傅里叶级数的算术平均 $\sigma_n(x)$ 一致收敛于 $f(x)$。由于 $f(x)$ 连续且周期为 $2\pi$，故 $\{\sigma_n(x)\}$ 一致收敛到 $f(x)$。
公式：$\sigma_n(x) \rightrightarrows f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上
提示：费耶定理要求函数连续且周期，这里条件满足。一致收敛比逐点收敛更强。
步骤 4/5
目标：结合收敛性得出极限相等
由第二步知 $\sigma_n(x)$ 逐点收敛到 $S(x)$，由第三步知 $\sigma_n(x)$ 一致收敛到 $f(x)$。由于一致收敛蕴含逐点收敛，且极限唯一，故 $S(x)=f(x)$ 对每个 $x$ 成立。
公式：无
提示：注意：一致收敛的极限函数必与逐点收敛的极限函数相同，因此 $S(x)=f(x)$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，傅里叶级数 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 处处收敛于 $f(x)$。
公式：$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = f(x)$
提示：本题结论是：连续周期函数的傅里叶级数若处处收敛，则必收敛到函数本身。
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